Question

提出問題：
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H分別在BC，AB上，若AE⊥DH于點(diǎn)O，求證：AE=DH；
類比探究：
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于點(diǎn)O，探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
綜合運(yùn)用：
（3）在（2）問條件下，HF∥GE，如圖3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：幾何綜合題,探究型

分析：（1）由正方形的性質(zhì)得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；
（2）EF=GH．將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF，將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．根據(jù)（1）的結(jié)論得AM=DN，所以EF=GH；
（3）易得△AHF∽△CGE，所以

AF

CE

=

FH

EG

=

FO

OE

=

1

2

，由EC=2得AF=1，過F作FP⊥BC于P，根據(jù)勾股定理得EF=

17

，因?yàn)镕H∥EG，所以

FO

FE

=

HO

HG

，根據(jù)（2）①知EF=GH，所以FO=HO，再求得三角形FOH與三角形EOG的面積相加即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．
∴∠HAO+∠OAD=90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD=90°．
∴∠HAO=∠ADO．
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴AE=DH．

（2）EF=GH．
將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF．
將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．

∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
根據(jù)（1）的結(jié)論得AM=DN，所以EF=GH；

（3）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD
∴∠AHO=∠CGO
∵FH∥EG
∴∠FHO=∠EGO
∴∠AHF=∠CGE
∴△AHF∽△CGE
∴

AF

CE

=

FH

EG

=

FO

OE

=

1

2

∵EC=2
∴AF=1
過F作FP⊥BC于P，
根據(jù)勾股定理得EF=

17

，
∵FH∥EG，
∴

FO

FE

=

HO

HG

根據(jù)（2）①知EF=GH，
∴FO=HO．
∴S△FOH=

1

2

FO2=

1

2

×(

1

3

EF)2=

17

18

，
S△EOG=

1

2

EO2=

1

2

×(

2

3

EF)2=

68

18

，
∴陰影部分面積為

85

18

．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的綜合知識．用到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等綜合性較強(qiáng)，難度較大．