Question

如圖，已知A（-3，0），C（0，

3

），點B在x軸正半軸上，且OB=

1

3

OA．
（1）求出∠ABC的度數(shù)；
（2）若點M、N同時從B點出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運動，當(dāng)運動時間為t秒時，連結(jié)MN，將△BMN沿MN翻折，B點恰好落在AC邊上的P處，求t的值；
（3）在（2）的情況下，直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)A（-3，0），C（0，

3

），OB=

1

3

OA，利用三角函數(shù)即可得到答案．
（2）由（1）可以斷定三角形MNB的形狀，再利用三角形相似的性質(zhì)，得出比例線段得到答案．
（3）t的值確定，P點的坐標(biāo)即可得到．

解答：解：（1）∵A（-3，0），C（0，

3

），
∴OA=3，OC=

3

點B在x軸正半軸上，且OB=

1

3

OA．
∴OB=1．
∴tan∠ABC=

CO

BO

=

3

，
∴∠ABC=60°．

（2）∵BM=BN=PM=PN=t，
∴四邊形BMPN是菱形，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∴

AM

AB

=

PM

BC

，
又∵OA=3，OC=

3

，OB=1，
根據(jù)勾股定理得：BC=2，
∴有

4-t

4

=

t

2

解之得：t=

4

3

．

（3）過點P作PD⊥AB，垂足為D，
因為t=

4

3

，所以BM=PM=

4

3

，
∠PMD=∠CBA=60°，
所以PD=

2 3

3

，DM=

2

3

，
∴OD=1，
∴P點的坐標(biāo)是(-1，

2 3

3

)．

點評：本題考查了三角函數(shù)的計算以及相似三角形的判定與性質(zhì)的簡單應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是要學(xué)會作輔助線．