【題目】問(wèn)題情景:
如圖1,AB//CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度數(shù).
小明的思路是:
過(guò)點(diǎn)P作PE//AB,
∴∠PAB+∠APE=180°.
∵∠PAB=130°,∴∠APE=50°
∵AB//CD,PE//AB,∴PE//CD,
∴∠PCD+∠CPE=180°.
∵∠PCD=120°,∴∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
問(wèn)題遷移:
如果AB與CD平行關(guān)系不變,動(dòng)點(diǎn)P在直線AB、CD所夾區(qū)域內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí),∠PAB,∠PCD的度數(shù)會(huì)跟著發(fā)生變化.
(1)如圖3,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到直線AC右側(cè)時(shí),請(qǐng)寫出∠PAB,∠PCD和∠APC之間的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.
(2)如圖4,AQ,CQ分別平分∠PAB,∠PCD,那么∠AQC和角∠APC有怎擇的數(shù)量關(guān)系?
(3)如圖5,點(diǎn)P在直線AC的左側(cè)時(shí),AQ,CQ仍然平分∠PAB,∠PCD,請(qǐng)直接寫出∠AQC和角∠APC的數(shù)量關(guān)系 .
【答案】(1) ∠PAB+∠PCD=∠APC.(2)∠AQC=∠APC;(3) 2∠AQC+∠APC=360°.
【解析】分析:(1)過(guò)點(diǎn)P作PF∥AB,由平行線的傳遞性得到PF∥CD,再由兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等即可得出結(jié)論;
(2)由(1)的結(jié)論得到∠PAB+∠PCD=∠APC, ∠QAB+∠QCD=∠AQC,再由角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(3)由(1)得:∠BAQ+∠CDQ=∠AQC.再由角平分線的性質(zhì)得到∠PAQ+∠PCQ=∠AQC,根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°即可得到結(jié)論.
詳解:(1)∠PAB+∠PCD=∠APC.
理由:如圖3,過(guò)點(diǎn)P作PF∥AB,∴∠PAB=∠APF.
∵AB∥CD,PF∥AB,∴PF∥CD,
∴∠PCD=∠CPF,∴∠PAB+∠PCD=∠APF+∠CPF=∠APC,
即∠PAB+∠PCD=∠APC.
(2).
理由:如圖4.
∵AQ,CQ分別平分∠PAB,∠PCD,
∴∠QAB=∠PAB,∠QCD=∠PCD,
∴∠QAB+∠QCD=∠PAB+∠PCD=(∠PAB+∠PCD),
由(1),可得∠PAB+∠PCD=∠APC,
∠QAB+∠QCD=∠AQC
∴∠AQC=∠APC.
(3)2∠AQC+∠APC=360°.理由如下:
由(1)得:∠BA Q+∠CDQ=∠AQC.
∵AQ平分∠PAB,CQ平分∠PCD,∴∠PAQ=∠BAQ,∠PCQ=∠DCQ,∴∠PAQ+∠PCQ=∠AQC.
∵∠PAQ+∠PCQ+∠AQC+∠APC=360°,∴∠APC+2∠AQC=360°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,李老師在黑板上畫了一個(gè)圖形,請(qǐng)你在這個(gè)圖形中分別找出角A的一個(gè)同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角,并指出是哪兩條直線被哪條直線所截形成的.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將點(diǎn)A先向下平移3個(gè)單位,再向右平移2個(gè)單位后得B(﹣2,5),則A點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A.(﹣4,11)B.(﹣2,6)C.(﹣4,8)D.(﹣6,8)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù) (m為常數(shù))的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣3,0),與y軸交于點(diǎn)C.以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn),并與x軸的正半軸交于點(diǎn)B.
(1)求m的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作直線AC的平行線交x軸于點(diǎn)F.是否存在這樣的點(diǎn)E,使得以A,C,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)E的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若P是拋物線對(duì)稱軸上使△ACP的周長(zhǎng)取得最小值的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1(x1 , y1),M2(x2 , y2)兩點(diǎn),試探究 是否為定值,并寫出探究過(guò)程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,E是ABCD的邊CD的中點(diǎn),延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:△ADE≌△FCE.
(2)若∠BAF=90°,BC=5,EF=3,求CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=9,BC=12,在線段BC上任取一點(diǎn)E,連接DE,作EF⊥DE,交直線AB于點(diǎn)F.
(1)若點(diǎn)F與B重合,求CE的長(zhǎng);
(2)若點(diǎn)F在線段AB上,且AF=CE,求CE的長(zhǎng);
(3)設(shè)CE=x,BF=y,寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(直接寫出結(jié)果可).
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