Question

【題目】已知關(guān)于的一元二次方程.

（1）求證：無論為任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，滿足，求的值；

（3）若△的斜邊為5，另外兩條邊的長(zhǎng)恰好是方程的兩個(gè)根、，求的內(nèi)切圓半徑.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2；（3）1

【解析】

（1）將二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別代入根的判別式△中，并進(jìn)行整理，可得，恒大于等于0，故此一元二次方程無論為任何實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，，將進(jìn)行分式的加法，再將，代入即可求得k.

（3）解一元二次方程可得，，由題意△的斜邊為5，通過勾股定理可求得，k=4，根據(jù)直角三角形中的內(nèi)切圓半徑為r=（a+b-c）/2 (a,b為直角邊，c為斜邊)，代入即可求得半徑.

（1）證明：∵，

無論為任何實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（2）由題意得：，，

即，

解得：；

（3）解：

解方程得：，

根據(jù)題意得：，即

設(shè)直角三角形的內(nèi)切圓半徑為，如圖，

由切線長(zhǎng)定理可得：，

直角三角形的內(nèi)切圓半徑=；