Question

觀察下列等式：
第1個等式：a₁=

1

1×3

=

1

2

×（1-

1

3

）
第2個等式：a₂=

1

3×5

=

1

2

×（

1

3

-

1

5

）
第3個等式：a₃=

1

5×7

=

1

2

×（

1

5

-

1

7

）
第4個等式：a₄=

1

7×9

=

1

2

×（

1

7

-

1

9

）
…請回答下列問題：
（1）按以上規(guī)律用含有n的代數(shù)式表示第n個等式：a_n=

 

（n為正整數(shù)）．
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．

Answer 1

考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類

專題：

分析：（1）觀察知，找第一個等號后面的式子規(guī)律是關鍵：分子不變，為1；分母是兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積，它們與式子序號之間的關系為 序號的2倍減1和序號的2倍加1．
（2）運用（1）的變化規(guī)律計算．

解答：解：（1）a_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

×（

1

2n-1

-

1

2n+1

）；
（2）a₁+a₂+a₃+…+a_n
=

1

2

×（1-

1

3

）+

1

2

×（

1

3

-

1

5

）+

1

2

×（

1

5

-

1

7

）+

1

2

×（

1

7

-

1

9

）+…+

1

2

×（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

×（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．

點評：此題考查尋找數(shù)字的規(guī)律及運用規(guī)律計算．尋找規(guī)律大致可分為2個步驟：不變的和變化的；變化的部分與序號的關系．