Question

拋物線y=ax²+bx+c，a＞0，c＜0，2a+3b+6c=0．
（1）求證：

b

2a

+

1

3

＞0；
（2）拋物線經(jīng)過點P(

1

2

，m)，Q（1，n）．
①判斷mn的符號；
②若拋物線與x軸的兩個交點分別為點A（x₁，0），點B（x₂，0）（點A在點B左側(cè)），請說明x1＜

1

6

，

1

2

＜x2＜1．

Answer 1

分析：（1）因為2a+3b+6c=0，所以2a+3b=-6c，再把

b

2a

+

1

3

通分，利用條件a＞0，c＜0，問題可得證；
（2）①把P，Q兩點的坐標分別代入，可得到關于m，n的關系式，再有條件a＞0，c＜0，2a+3b+6c=0，可判斷mn的符號；
②因為a＞0，知拋物線y=ax²+bx+c開口向上．又因為拋物線與x軸的兩個交點分別為點A（x₁，0），點B（x₂，0）（點A在點B左側(cè)），所以把拋物線y=ax²+bx+c的示意圖畫出，利用拋物線的對稱性可證得問題的正確性．

解答：（1）證明：∵2a+3b+6c=0，
∴

b

2a

+

1

3

=

2a+3b

6a

=-

6c

6a

=-

c

a

．
∵a＞0，c＜0，
∴

c

a

＜0，-

c

a

＞0．
∴

b

2a

+

1

3

＞0．

（2）解：∵拋物線經(jīng)過點P(

1

2

，m)，點Q（1，n），
∴

1 4 a+ 1 2 b+c=m a+b+c=n.

①∵2a+3b+6c=0，a＞0，c＜0，
∴b+2c=-

2a

3

，b=-

2a

3

-2c．
∴m=

1

4

a+

1

2

b+c=

1

4

a+

b+2c

2

=

1

4

a+(-

1

3

a)=-

1

12

a＜0.n=a+b+c=a+(-

2a

3

-2c)+c=

a

3

-c＞0．
∴mn＜0．
②由a＞0知拋物線y=ax²+bx+c開口向上．
∵m＜0，n＞0，
∴點P(

1

2

，m)和點Q（1，n）分別位于x軸下方和x軸上方．
∵點A，B的坐標分別為A（x₁，0），B（x₂，0）（點A在點B左側(cè)），
∴由拋物線y=ax²+bx+c的示意圖可知，
對稱軸右側(cè)的點B的橫坐標x₂滿足

1

2

＜x2＜1．（如圖所示）
∵拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

，
由拋物線的對稱性可

x1+x2

2

=-

b

2a

，由（1）知-

b

2a

＜

1

3

，
∴

x1+x2

2

＜

1

3

．即x₁+x₂＜

2

3

，
∴x1＜

2

3

-x2＜

2

3

-

1

2

=

1

6

，即x1＜

1

6

．

點評：本題主要考二次函數(shù)系數(shù)和與x軸的交點問題，把拋物線與坐標軸的交點問題轉(zhuǎn)化為與二元一次方程有關的問題是解答此題的關鍵，重點是從圖象中找出重要信息．