Question

如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC=6cm，BD=8cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，D同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s，點(diǎn)P沿B→C→D運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D停止，點(diǎn)Q沿D→O→B運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)O停止1s后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止，連接AP，AQ，PQ．設(shè)△APQ的面積為y（cm²）（這里規(guī)定：線段是面積0的幾何圖形），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）．
（1）填空：AB=

 

cm，AB與CD之間的距離為

 

cm；
（2）當(dāng)4≤x≤10時(shí)，求y與x之間的函數(shù)解析式；
（3）直接寫(xiě)出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使PQ與菱形ABCD一邊平行的所有x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題,勾股定理,菱形的性質(zhì),相似圖形

專題：幾何綜合題,壓軸題,分類討論

分析：（1）根據(jù)勾股定理即可求得AB，根據(jù)面積公式求得AB與CD之間的距離．
（2）當(dāng)4≤x≤10時(shí)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為三個(gè)階段，需要分類討論，避免漏解：
①當(dāng)4≤x≤5時(shí)，如答圖1-1所示，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，點(diǎn)P在線段BC上；
②當(dāng)5＜x≤9時(shí)，如答圖1-2所示，此時(shí)點(diǎn)Q在線段OB上，點(diǎn)P在線段CD上；
③當(dāng)9＜x≤10時(shí)，如答圖1-3所示，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，點(diǎn)P在線段CD上．
（3）有兩種情形，需要分類討論，分別計(jì)算：
①若PQ∥CD，如答圖2-1所示；
②若PQ∥BC，如答圖2-2所示．

解答：解：（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，
∴AC⊥BD，
∴AB=

(  AC 2 )2+(  BD 2 )2

=

32+42

=5，
設(shè)AB與CD間的距離為h，
∴△ABC的面積S=

1

2

AB•h，
又∵△ABC的面積S=

1

2

S_菱形ABCD=

1

2

×

1

2

AC•BD=

1

4

×6×8=12，
∴

1

2

AB•h=12，
∴h=

24

AB

=

24

5

．

（2）設(shè)∠CBD=∠CDB=θ，則易得：sinθ=

3

5

，cosθ=

4

5

．
①當(dāng)4≤x≤5時(shí)，如答圖1-1所示，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，點(diǎn)P在線段BC上．
∵PB=x，
∴PC=BC-PB=5-x．
過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn)H，則PH=PC•cosθ=

4

5

（5-x）．
∴y=S_△APQ=

1

2

QA•PH=

1

2

×3×

4

5

（5-x）=-

6

5

x+6；
②當(dāng)5＜x≤9時(shí)，如答圖1-2所示，此時(shí)點(diǎn)Q在線段OB上，點(diǎn)P在線段CD上．
PC=x-5，PD=CD-PC=5-（x-5）=10-x．
過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BD于點(diǎn)H，則PH=PD•sinθ=

3

5

（10-x）．
∴y=S_△APQ=S_菱形ABCD-S_△ABQ-S_{四邊形BCPQ}-S_△APD
=S_菱形ABCD-S_△ABQ-（S_△BCD-S_△PQD）-S_△APD
=

1

2

AC•BD-

1

2

BQ•OA-（

1

2

BD•OC-

1

2

QD•PH）-

1

2

PD×h
=

1

2

×6×8-

1

2

（9-x）×3-[

1

2

×8×3-

1

2

（x-1）•

3

5

（10-x）]-

1

2

（10-x）×

24

5

=-

3

10

x²+

36

5

x-

57

2

；

③當(dāng)9＜x≤10時(shí)，如答圖1-3所示，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，點(diǎn)P在線段CD上．
y=S_△APQ=

1

2

AB×h=

1

2

×5×

24

5

=12．
綜上所述，當(dāng)4≤x≤10時(shí)，y與x之間的函數(shù)解析式為：
y=

- 6 5 x+6(4≤x≤5) - 3 10 x2+ 36 5 x- 57 2 (5＜x≤9) 12(9＜x≤10)

．

（3）有兩種情況：
①若PQ∥CD，如答圖2-1所示．
此時(shí)BP=QD=x，則BQ=8-x．
∵PQ∥CD，
∴

BP

BC

=

BQ

BD

，
即

x

5

=

8-x

8

，
∴x=

40

13

；
②若PQ∥BC，如答圖2-2所示．
此時(shí)PD=10-x，QD=x-1．
∵PQ∥BC，
∴

QD

BD

=

PD

CD

，
即

x-1

8

=

10-x

5

，
∴x=

85

13

．
綜上所述，滿足條件的x的值為

40

13

或

85

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、圖形面積、相似等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．本題第（2）（3）問(wèn)均需分類討論，這是解題的難點(diǎn)；另外，試題計(jì)算量較大，注意認(rèn)真計(jì)算．