Question

為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川上設(shè)定一個(gè)以大本營(yíng)O為圓心，半徑為4km的圓形考察區(qū)域，線段P₁P₂是冰川的部分邊界線（不考慮其它邊界），當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿著與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng)，若經(jīng)過(guò)n年，冰川的邊界線P₁P₂移動(dòng)的距離為s（km），并且s與n（n為正整數(shù)）的關(guān)系是s=

3

20

n²-

9

50

n+

7

25

．以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中P₁、P₂的坐標(biāo)分別為（-4，9）、（-13、-3）．
（1）求線段P₁P₂所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題

分析：（1）設(shè)P₁P₂所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=kx+b，由待定系數(shù)法求出其解就可以得出結(jié)論；
（2）由（1）的解析式求出直線P₁P₂與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，設(shè)最短距離為a，由三角形的 面積相等建立方程，求出a的值就求出了s的值，再代入s=

3

20

n²-

9

50

n+

7

25

就可以求出時(shí)間．

解答：解：（1）設(shè)P₁P₂所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y=kx+b，根據(jù)題意，得

-4k+b=9 -13k+b=-3

，
解得：

k= 4 3 b= 43 3

，
∴直線P₁P₂的解析式是：y=

4

3

x+

43

3

；

（2）在y=

4

3

x+

43

3

中，
當(dāng)x=0，則y=

43

3

，
當(dāng)y=0，則x=-

43

4

，
∴與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，

43

3

）、（-

43

4

，0）．
由勾股定理，得

( 43 3 )2+( 43 4 )2

=

215

12

，
當(dāng)P₁P₂與⊙O相切時(shí)，此時(shí)冰川移動(dòng)的距離最短，
設(shè)移動(dòng)的最短距離是s，O點(diǎn)到直線P₁P₂的距離為x，
則根據(jù)面積相等列出等式，

1

2

×

43

3

×

43

4

=

1

2

×

215

12

x，
解得：x=

43

5

，
即s=

43

5

-4=

23

5

∵s=

3

20

n²-

9

50

n+

7

25

，
∴

3

20

n²-

9

50

n+

7

25

=

23

5

，
解得：n₁=6，n₂=-4.8（舍去）
答：冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間為6年．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)求出一次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．