Question

四邊形ADFE和四邊形BCDG都為正方形，且點(diǎn)F、D、C在半圓O的直徑上，點(diǎn)E、A、B在半圓O的圓弧上，若小正方形邊長為4cm，求該半圓的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,正方形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：先根據(jù)正方形的性質(zhì)得EF=AD，則利用勾股定理可證明OD=OF，設(shè)OD=x，則OC=x+4，AD=2x，再根據(jù)勾股定理，在Rt△AOD中有OA²=OD²+AD²=5x²，
在Rt△OBC中有OB²=OC²+BC²=（x+4）²+4²，則（x+4）²+4²=5x²，然后解方程得到x=4，再利用OA=

5

x進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：連接OA、OB，如圖
∵四邊形AEDF為正方形，
∴EF=AD，
而OE=OA，OF=

OE2-EF2

，OD=

OA2-AD2

，
∴OD=OF，
設(shè)OD=x，則OC=x+4，AD=2x，
在Rt△AOD中，OA²=OD²+AD²=x²+（2x）²=5x²，
在Rt△OBC中，OB²=OC²+BC²=（x+4）²+4²，
而OA=OB，
∴（x+4）²+4²=5x²，
整理得x²-4x-8=0，解得x₁=4，x₂=-2（舍去），
∴OA=

5

x=4

5

，
即該半圓的半徑為4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用及正方形的性質(zhì)，難度中等，是一道比較典型的圓的計(jì)算題．解答的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，借助方程知識(shí)進(jìn)行解答．