Question

如圖，BD是△ABC的中線，CE⊥BD于點(diǎn)E，AF⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：DE=DF；
（1）求證：BE+BF=2BD；
（2）連AE、CF，求證：AE∥CF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)三角形中線的定義可得AD=CD，根據(jù)垂直的定義可得∠CED=∠AFD=90°，然后利用“角角邊”證明△CDE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DF；
（2）用BD表示出BE、BF，然后整理即可得證；
（3）根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形得到四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行證明即可．

解答：（1）證明：∵BD是△ABC的中線，
∴AD=CD，
∵CE⊥BD，AF⊥BD，
∴∠CED=∠AFD=90°，
在△CDE和△ADF中，

∠CED=∠AFD=90° ∠ADF=∠CDE AD=CD

，
∴△CDE≌△ADF（AAS），
∴DE=DF；

（2）∵BE=BD-DE，
BF=BD+DF，
∴BE+BF=BD-DE+BD+DF=2BD，
即BE+BF=2BD，

（3）∵AD=CD，DE=DF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AE∥CF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中線的定義，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并準(zhǔn)確識(shí)圖找出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．