【題目】已知⊙O的半徑為5,EF是長(zhǎng)為8的弦,OG⊥EF于點(diǎn)G,點(diǎn)A在GO的延長(zhǎng)線上,且AO=13.弦EF從圖1的位置開(kāi)始繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中始終保持OG⊥EF,如圖2.
[發(fā)現(xiàn)]在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,
(1)AG的最小值是 ,最大值是 .
(2)當(dāng)EF∥AO時(shí),旋轉(zhuǎn)角α= .
[探究]若EF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,如圖3,求AG的長(zhǎng).
[拓展]如圖4,當(dāng)AE切⊙O于點(diǎn)E,AG交EO于點(diǎn)C,GH⊥AE于H.
(1)求AE的長(zhǎng).
(2)此時(shí)EH= ,EC= .
【答案】發(fā)現(xiàn):(1)10,16;(2)90°或270°;探究:AG=;拓展:(1)AE=12;(2),.
【解析】
發(fā)現(xiàn):(1)根據(jù)垂徑定理得:在Rt△EOG中,根據(jù)勾股定理求出OG=3,由旋轉(zhuǎn)知,點(diǎn)G的軌跡是以點(diǎn)O為圓心,OG=3為半徑的圓,即可求出AG的最大值與最小值.
(2)根據(jù)OG⊥EF,EF∥OA,得出OG⊥OA,即可求出旋轉(zhuǎn)角度.
探究:過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥OA于Q,在Rt△OQG中,求出∠GOQ的度數(shù),根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出即可求出AG的長(zhǎng)
拓展:(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OEA=90°,根據(jù)勾股定理即可求出AE的長(zhǎng).
(2)過(guò)點(diǎn)G作GP⊥OE于P,易證四邊形EHGP是矩形,證明△OGE∽△OPG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到即可求出的長(zhǎng)度,即可求出EH的長(zhǎng)度,再根據(jù)△AEC∽△AHG,求出EC的長(zhǎng)度.
發(fā)現(xiàn):(1)如圖1,
連接OE,
∵OG⊥EF,
∴
在Rt△EOG中,OE=5,根據(jù)勾股定理得,OG=3,
由旋轉(zhuǎn)知,點(diǎn)G的軌跡是以點(diǎn)O為圓心,OG=3為半徑的圓,
∴AG最大=OA+OG=13+3=16,
AG最小=OA﹣OG=13﹣3=10,
故答案為:10,16;
(2)∵OG⊥EF,EF∥OA,
∴OG⊥OA,
∴旋轉(zhuǎn)角α=90°或270°,
故答案為90°或270°;
探究:如圖3,
過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥OA于Q,
在Rt△OQG中,∠GOQ=180°﹣120°=60°,OG=3,
∴
∴
在Rt△AQG中,
拓展:(1)∵AE切⊙O于E,
∴∠OEA=90°,
在Rt△AEO中,
(2)如圖4,
過(guò)點(diǎn)G作GP⊥OE于P,
∵HG⊥AE,OE⊥AE,
∴四邊形EHGP是矩形,
∴HG=EP,EH=PG,
∵∠OGE=∠OPG=90°,∠GOE=∠POG,
∴△OGE∽△OPG,
∴
∴
∴
∴
∵OE⊥AE,HG⊥AE,
∴CE∥HG,
∴△AEC∽△AHG,
∴
∴
∴
故答案為:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)M(n,﹣n )在第二象限,過(guò)點(diǎn)M的直線y=kx+b(0<k<1)分別交x軸、y軸于點(diǎn)A,B,過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N,則下列點(diǎn)在線段AN的是( 。
A. ((k﹣1)n,0) B. ((k+)n,0)) C. (,0) D. ((k+1)n,0)
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【題目】如圖,一個(gè)拱形橋架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的拋物線D1OD8組成.若建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,跨度AB=44米,∠A=45°,AC1=4米,點(diǎn)D2的坐標(biāo)為(-13,-1.69),則橋架的拱高OH=________米.
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【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC, 點(diǎn)E正好在BD的垂直平分線上,且AB=6,則△DBE的周長(zhǎng)是___________.
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【題目】已知四邊形ABCD在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,其中邊AD和邊BC都與x軸平行,邊AB和邊CD都與y軸平行,且D(2,3),點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是-1,反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖像過(guò)點(diǎn)C,與邊AB交于點(diǎn)E.
(1)求直線OD的表達(dá)式和此反比例函數(shù)的解析式:
(2)如果點(diǎn)B到y軸的距離是4,求點(diǎn)E的坐標(biāo).
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【題目】郴州市正在創(chuàng)建“全國(guó)文明城市”,某校擬舉辦“創(chuàng)文知識(shí)”搶答賽,欲購(gòu)買A、B兩種獎(jiǎng)品以鼓勵(lì)搶答者.如果購(gòu)買A種20件,B種15件,共需380元;如果購(gòu)買A種15件,B種10件,共需280元.
(1)A、B兩種獎(jiǎng)品每件各多少元?
(2)現(xiàn)要購(gòu)買A、B兩種獎(jiǎng)品共100件,總費(fèi)用不超過(guò)900元,那么A種獎(jiǎng)品最多購(gòu)買多少件?
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【題目】如圖,在△ABC中,2BD=3DC,E是AC的中點(diǎn),如S△ABC=10,則S△ADE=( )
A.5B.4 C.3 D.2
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【題目】已知:在等邊△ABC中, AB=, D,E分別是AB,BC的中點(diǎn)(如圖1).若將△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到△BD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<180°),記射線CE1與AD1的交點(diǎn)為P.
(1)判斷△BDE的形狀;
(2)在圖2中補(bǔ)全圖形,
①猜想在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,線段CE1與AD1的數(shù)量關(guān)系并證明;
②求∠APC的度數(shù);
(3)點(diǎn)P到BC所在直線的距離的最大值為________.(直接填寫結(jié)果)
、
圖2 備用
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【題目】某地要建造一個(gè)圓形噴水池,在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)花形柱子OA,O恰在水面中心,安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水,水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下,且在過(guò)OA的任一平面上,拋物線形狀如圖(1)所示.圖(2)建立直角坐標(biāo)系,水流噴出的高度y(米)與水平距離x(米)之間的關(guān)系是.請(qǐng)回答下列問(wèn)題:
(1)柱子OA的高度是多少米?
(2)噴出的水流距水平面的最大高度是多少米?
(3)若不計(jì)其他因素,水池的半徑至少要多少米才能使噴出的水流不至于落在池外?
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