【題目】已知:在等邊△ABC中, AB=, DE分別是AB,BC的中點(如圖1).若將△BDE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn),得到△BD1E1,設旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<180°),記射線CE1AD1的交點為P

(1)判斷△BDE的形狀;

(2)在圖2中補全圖形,

①猜想在旋轉(zhuǎn)過程中,線段CE1AD1的數(shù)量關系并證明;

②求∠APC的度數(shù);

(3)點PBC所在直線的距離的最大值為________.(直接填寫結果)

、

圖2 備用

【答案】(1)等邊三角形;

(2)①見解析;②見解析.

【解析】

1)D、E分別是AB、BC的中點得到,,加上為等邊三角形,則,所以,于是可判斷為等邊三角形;

(2)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得為等邊三角形,則,,而,所以∠D1BA=E1BC,則可證明ABD1CBE1,所以CE1=AD1;

②由ABD1CBE1,可得到∠D1AB=E1CB即可得到APC=ABC;

(3)由于,則可判斷點P、D1、B、E1共圓,于是可判斷當時,點PBC所在直線的距離的最大值,此時點EAB,然后利用含30度的直角三角形三邊的關系可得點PBC所在直線的距離的最大值.

解:

(1)等邊三角形.

(2)補全圖形如右圖.

CE1=AD1.

ABCBD1E1為等邊三角形,

BC=BA,BE1=BD1,ABC=D1BE1=60°.

ABC-ABE1 =D1BE1-ABE1.

即∠D1BA=E1BC.

ABD1CBE1.

CE1=AD1.

②∵ ABD1CBE1,

D1AB=E1CB.

∵∠D1AB+APC=ABC+E1CB

APC=ABC=60°.

(3)2.

練習冊系列答案
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[發(fā)現(xiàn)]在旋轉(zhuǎn)過程中,

(1)AG的最小值是   ,最大值是   

(2)當EFAO時,旋轉(zhuǎn)角α=   

[探究]EF繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°,如圖3,求AG的長.

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圖1 圖2

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