Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，CD⊥AB于點E，點G在直徑DF的延長線上，∠D=∠G=30°

（1）求證：=．

（2）若CD=6，求GF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）GF= 2．

【解析】

試題分析：（1）只要證明∠COF=∠COV=60°即可．

（2）首先證明GF=CF，再在RT△CFD中利用勾股定理即可解決．

解：（1）如圖，連接OC、CF．

∵AB是直徑，AB⊥CD，

∴BC弧=BD弧，∠OED=90°，

∴∠BOD=∠COB，

∵∠D=30°，

∴∠DOE=∠AOF=∠BOC=60°，

∴∠COF=60°，

∴∠COF=∠COB=60°，

∴=．

（2）∵OC=OF，∠COF=60°

∴△COF是等邊三角形，

∴∠OFC=60°，

∵∠G=30°，∠OFC=∠G+∠FCG，

∴∠FCG=30°，

∴∠G=∠FCG，

∴GF=CF，

∵DF是直徑，

∴∠FCD=90°，

∵∠D=30°，CD=6，DF=2CF，設CF=a，則DF=2a

∴a2+36=4a2，

∵a＞0，

∴a=2，

∴GF=CF=2．