Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在BA的延長線上，直線CD與⊙O相切于點D，弦DF⊥AB于點E，線段CD=10，連接BD；
（1）求證：∠CDE=∠DOC=2∠B；
（2）若BD：AB=

3

：2，求⊙O的半徑及DF的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)弦切角定理得∠CDE=∠COD，再由同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，可得∠CDE=∠COD=2∠B；
（2）連接AD，根據(jù)三角函數(shù)求得∠B=30°，則∠EOD=60°，推得∠C=30°，根據(jù)∠C的正切值，求出圓的半徑，再在Rt△CDE中，利用∠C的正弦值，求得DE，從而得出DF的長．

解答：（1）證明：∵直線CD與⊙O相切于點D，
∴OD⊥CD，∠CDO=90°，
∴∠CDE+∠ODE=90°．
又∵DF⊥AB，
∴∠DEO=∠DEC=90°．
∴∠COD+∠ODE=90°，
∴∠CDE=∠COD．
又∵∠EOD=2∠B，
∴∠CDE=∠DOC=2∠B．

（2）解：連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∵BD：AB=

3

：2，
∴在Rt△ADB中cosB=

BD

AB

=

3

2

，
∴∠B=30°．
∴∠AOD=2∠B=60°．
又∵∠CDO=90°，
∴∠C=30°．
在Rt△CDO中，CD=10，
∴OD=10tan30°=

10

3

3

，
即⊙O的半徑為

10

3

3

．
在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°，
∴DE=CDsin30°=5．
∵DF⊥AB于點E，
∴DE=EF=

1

2

DF．
∴DF=2DE=10．

點評：本題考查的是切割線定理，切線的性質(zhì)定理，勾股定理，熟練掌握和正確運用定理是解題的關(guān)鍵．