Question

【題目】已知拋物線過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn),，交y軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

(1)求拋物線解析式；

(2)在第一象限內(nèi)的拋物線上求點(diǎn)，使 ，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，點(diǎn) 在點(diǎn)右側(cè)，且滿足，當(dāng)為何值時(shí)，滿足條件的點(diǎn)只有一個(gè)？

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

（1）已知拋物線過定點(diǎn)，用待定系數(shù)法即可求解；（2）過點(diǎn)D作DH⊥y軸交y軸于點(diǎn)H，DH＝HC，OA＝OC，∠DHC＝∠AOC＝90°得△DHC和△AOC都是等腰直角三角形，從而得出∠DCH＝∠ACO＝45°，DC＝，AC＝，∠ACD＝90°，DC⊥AC，延長DC至N使CN＝DC＝，根據(jù)，，得出S△ADC＝S△ACM，得出直線AC的解析式為：y＝x+3，從而得出直線NM的解析式為：y＝x+1，由求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為：；（3）延長DF交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DG⊥x軸交x軸于點(diǎn)G，設(shè)OE＝a，則EA＝ED＝a+3，GE＝a+1，在Rt△DGE中，DG2+GE2＝DE2，解得a＝2，解得E（2，0）得直線DE的解析式為： ，聯(lián)立，由此可得，由∠APF是△DPF的一個(gè)外角，可得△FDP≌△PAQ，，易得，，，設(shè)DP＝x，則PA＝ ，則AQ＝m+3，由，整理得，令△＝0，解得．

(1)依題有

解得，，

拋物線的解析式為；

(2)過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

由(1)得，

，，

又，

和都是等腰直角三角形，

，

,

,

，即,

延長至使，

易得

過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，

，，

，

依題有的解析式為：，

設(shè)的解析式為：

將點(diǎn)代入的解析式得，，

的解析式為：，

聯(lián)立

解得，， (舍去)

；

(3)如圖，延長交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作 軸于點(diǎn)，

，

.

設(shè)，則，，

在中，

即，解得，.

直線的解析式為：

聯(lián)立

解得：，，

是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，

是的一個(gè)外角，

，

，

又，

，

又，

，

，

易得，，，

設(shè)，則，

依題有，

，

，

整理得，，

.

∵當(dāng)時(shí)，滿足條件的只有一個(gè),

，

解得，.