Question

【題目】已知一次函數(shù)y=﹣x+的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)．直線l過(guò)點(diǎn)A且垂直于x軸．兩動(dòng)點(diǎn)D、E分別從A B兩點(diǎn)間時(shí)出發(fā)向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)停止）．運(yùn)動(dòng)速度分別是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和個(gè)單位長(zhǎng)度．點(diǎn)G、E關(guān)于直線l對(duì)稱，GE交AB于點(diǎn)F．設(shè)D、E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形是菱形？判斷此時(shí)△AFG與AGB是否相似，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)△ADF是直角三角形時(shí)，求△BEF與△BFG的面積之比．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).

【解析】

（1）①先求出A、B的坐標(biāo)，由題意可得EF=t，BF=2t，AF=2﹣2t，AD=t，從而四邊形ADEF為平行四邊形，由AD=AF時(shí)，ADEF是菱形可求出t的值；②由銳角三角函數(shù)的知識(shí)可求∠EBG=60°，從而∠ABG=30°，根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似可證△AFG∽△AGB；

（2）分∠ADF=90°和∠AFD=90°兩種情況求解即可.

解：（1）①由題意可得：A（1，0），B（0，），∠OBA=30°，

∵BE=t，

∴EF=t，BF=2t，AF=2﹣2t，

∵AD=t，

∴EF=AD，且EF∥AD，

∴四邊形ADEF為平行四邊形．

當(dāng)AD=AF時(shí)，ADEF是菱形，即：t=2﹣2t，解得t=．

②此時(shí)△AFG與△AGB相似．理由如下：

如答圖1所示，連接AE，則AE=AG，

∴∠AGE=∠AEG=30°．

在Rt△BEG中，BE=，EG=2，

∴tan∠EBG==，

∴∠EBG=60°，

∴∠ABG=∠EBG﹣∠EBF=30°．

在△AFG與△AGB中，∵∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，

∴△AFG∽△AGB．

（2）∵∠DAF=60°，

∴當(dāng)∠ADF=90°時(shí)，AF=2AD，即：2﹣2t=2t，解得t=，

此時(shí)EF=，F(xiàn)G=，

∴==，

∴當(dāng)∠AFD=90°時(shí)，AD=2AF，即：t=2（2﹣2t），解得t=，

此時(shí)EF=，F(xiàn)G=，

∴==．