Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，點A、B的橫坐標分別為a、a+2，二次函數(shù)y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的圖象經過點A、B，且a、m滿足2a﹣m=d（d為常數(shù)）．

（1）若一次函數(shù)y1=kx+b的圖象經過A、B兩點．

①當a=1、d=﹣1時，求k的值；

②若y隨x的增大而減小，求d的取值范圍；

（2）當d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4時，判斷直線AB與x軸的位置關系，并說明理由；

（3）點A、B的位置隨著a的變化而變化，設點A、B運動的路線與y軸分別相交于點C、D，線段CD的長度會發(fā)生變化嗎？如果不變，求出CD的長；如果變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①k的值為﹣3，②d的取值范圍為d＞﹣4；（2）AB∥x軸．理由見解析；（3）線段CD的長度不變，理由見解析．

【解析】

（1）①當a=1、d=-1時，m=2a-d=3，于是得到拋物線的解析式，然后求得點A和點B的坐標，最后將點A和點B的坐標代入直線AB的解析式求得k的值即可；
②將x=a，x=a+2代入拋物線的解析式可求得點A和點B的縱坐標，然后依據(jù)y1隨著x的增大而減小，可得到-（a-m）（a+2）>-（a+2-m）（a+4），結合已知條件2a-m=d，可求得d的取值范圍；
（2）由d=-4可得到m=2a+4，則拋物線的解析式為y=-x2+（2a+2）x+4a+8，然后將x=a、x=a+2代入拋物線的解析式可求得點A和點B的縱坐標，最后依據(jù)點A和點B的縱坐標可判斷出AB與x軸的位置關系；
（3）先求得點A和點B的坐標，于是得到點A和點B運動的路線與字母a的函數(shù)關系式，則點C（0，2m），D（0，4m-8），于是可得到CD與m的關系式．

（1）①當時，

所以二次函數(shù)的表達式是

∵a=1，

∴點A的橫坐標為1，點B的橫坐標為3，

把x=1代入拋物線的解析式得：y=6，把x=3代入拋物線的解析式得：y=0，

∴A（1，6），B（3，0）．

將點A和點B的坐標代入直線的解析式得：解得：

所以k的值為﹣3．

②∵

∴當x=a時，；當x=a+2時，

∵y1隨著x的增大而減小，且a＜a+2，

∴ 解得：

又∵

∴d的取值范圍為

（2）∵且

∴m=2a+4．

∴二次函數(shù)的關系式為

把x=a代入拋物線的解析式得：y=a2+6a+8．

把x=a+2代入拋物線的解析式得：y=a2+6a+8．

∴A（a，a2+6a+8）、B（a+2，a2+6a+8）．

∵點A、點B的縱坐標相同，

∴AB∥x軸．

（3）線段CD的長度不變．

∵過點A、點B，，

∴

∴

∵把a=0代入，得：

∴

∵點D在y軸上，即a+2=0，

∴

把代入得：

∴

∴

∴線段CD的長度不變．