【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點,點B的坐標(biāo)為(3,0),與y軸相交于點C(0,﹣3),頂點為D.
(1)求出拋物線y=x2+bx+c的表達(dá)式;
(2)連結(jié)BC,與拋物線的對稱軸交于點E,點P為線段BC上的一個動點,過點P作PF∥DE交拋物線于點F,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.
①當(dāng)m為何值時,四邊形PEDF為平行四邊形.
②設(shè)四邊形OBFC的面積為S,求S的最大值.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)①2;②.
【解析】分析:(1)由B、C兩點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線的表達(dá)式;
(2)①可求得直線BC的解析式,則可表示出P、F的坐標(biāo),從而可表示出PF和DE的長,由平行四邊形的性質(zhì)可知PF=DE,則可得到關(guān)于m的方程,可求得m的值;②用m可表示出PF的長,則可表示出△BCF的面積,從而可表示出四邊形OBFC的面積,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.
本題解析:(1)∵拋物線過B、C兩點,
∴,解得,
∴拋物線表達(dá)式為y=x2﹣2x﹣3;
(2)①∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴直線BC解析式為y=x﹣3,
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴D(1,﹣4),
∴E(1,﹣2),
∴DE=﹣2﹣(﹣4)=2,
∵PF∥DE,且P(m,m﹣3),
∴F(m,m2﹣2m﹣3),
∵點P為線段BC上的一個動點,
∴PF=m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m,
當(dāng)四邊形PEDF為平行四邊形時,則有PF=DE=2,
即﹣m2+3m=2,解得m=1(舍去)或m=2,
∴當(dāng)m的值為2時,四邊形PEDF為平行四邊形;
②由①可知PF=﹣m2+3m,
∴S△FBC=PFOB=×3(﹣m2+3m)=﹣(m﹣)2+,
∵S△OBC=OBOC=×3×3=,
∴S=S△FBC+S△OBC=﹣(m﹣)2++=﹣(m﹣)2+,
∵﹣<0,
∴當(dāng)m=時,S有最大值
點睛:本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,涉及待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想等知識,本題考查知識點較多,綜合性較強,難度適中.
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【題目】將點A(-3,-2)向右平移5個單位,得到點B,再把點B向上平移4個單位得到點C,則點C的坐標(biāo)為( )
A. (2,2)B. (-2,-2)C. (-3,2)D. (3,2)
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【題目】在四邊形ABCD中,對角線相交于點O;E、F、G、H分別是AD、BD、 BC、AC的中點.
(1)說明四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)當(dāng)四邊形ABCD滿足一個什么條件時,四邊形EFGH是菱形?并說明理由.
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【題目】閱讀材料,并回答問題
如圖,有一根木棒MN放置在數(shù)軸上,它的兩端M、N分別落在點A、B.將木棒在數(shù)軸上水平移動,當(dāng)點M移動到點B時,點N所對應(yīng)的數(shù)為20,當(dāng)點N移動到點A時,點M所對應(yīng)的數(shù)為5.
(單位:cm)
由此可得,木棒長為__________cm.
借助上述方法解決問題:
一天,美羊羊去問村長爺爺?shù)哪挲g,村長爺爺說:“我若是你現(xiàn)在這么大,你還要40年才出生呢,你若是我現(xiàn)在這么大,我已經(jīng)是老壽星了,116歲了,哈哈!”美羊羊納悶,村長爺爺?shù)降资嵌嗌贇q?
(1)請你畫出示意圖,求出村長爺爺和美羊羊現(xiàn)在的年齡.
(2)若羊村中的小羊均與美羊羊同歲,老羊均與村長爺爺同歲;姨怯媱潪槿易5只羊,綜合考慮口感和生長周期等因素,決定所抓羊的年齡之和不超過112歲且高于34歲。請問灰太狼有幾種抓羊方案?
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【題目】某鄉(xiāng)村在開展“美麗鄉(xiāng)村”建設(shè)時,決定購買A,B兩種樹苗對村里的主干道進行綠化改造,已知購買A種樹苗3棵,B種樹苗4棵,需要380元;購買A種樹苗5棵,B種樹苗2棵,需要400元.
(1)求購買A,B兩種樹苗每棵各需多少元?
(2)現(xiàn)需購買這兩種樹苗共100棵,要求購買A種樹苗不少于60棵,且用于購買這兩種樹苗的資金不超過5620元.則有哪幾種購買方案?
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于, 兩點,點的坐標(biāo)為,點在第一象限內(nèi),點是二次函數(shù)圖象的頂點,點是一次函數(shù)的圖象與軸的交點,過點作軸的垂線,垂足為,且.
()求直線和直線的解析式.
(2)點是線段上一點,點是線段上一點, 軸,射線與拋物線交于點,過點作軸于點, 于點,當(dāng)與的乘積最大時,在線段上找一點(不與點,點重合),使的值最小,求點的坐標(biāo)和的最小值.
()如圖,直線上有一點,將二次函數(shù)沿直線平移,平移的距離是,平移后拋物線使點,點的對應(yīng)點分別為點,點;當(dāng)是直角三角形時,求t的值.
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【題目】某小區(qū)為了綠化環(huán)境,計劃分兩次購進、兩種花草,第一次分別購進、 兩種花草棵和棵,共花費元;第二次分別購進、兩種花草棵和棵.兩次共花費元(兩次購進的、兩種花草價格均分別相同).
()、兩種花草每棵的價格分別是多少元?
()若購買、兩種花草共棵,且種花草的數(shù)量少于種花草的數(shù)量的倍,請你給出一種費用最省的方案,并求出該方案所需費用.
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【題目】已知關(guān)于x的分式方程 + = .
(1)若方程的增根為x=2,求m的值;
(2)若方程有增根,求m的值;
(3)若方程無解,求m的值.
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【題目】下列兩個三角形的對應(yīng)元素中,不能判斷兩個三角形全等的是( )
A. SSA B. AAS C. SAS D. ASA
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