Question

已知：如圖，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，且EM＞MC．連結(jié)DE，DE＝．
（1）求證：；
（2）求EM的長(zhǎng)；
（3）求sin∠EOB的值．

Answer 1

（1）證明：連接AC、EB
∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACE
∴△AMC∽△EMB
∴
∴--------------------------------------------------------3分
（2）解：∵DC是⊙O的直徑
∴∠DEC=90°
∴
∵DE＝，CD=8，且EC為正數(shù)
∴EC=7
∵M(jìn)為OB的中點(diǎn)
∴BM=2，AM=6
∵，且EM＞MC
∴EM=4------------------------------------------------------------------------------7分
（3）解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F
∵OE=4，EM=4
∴OE=EM
∴OF=FM=1
∴EF=
∴sin∠EOB=---------------------------------------------------------------------10分

（1）連接A、C，E、B點(diǎn)，那么只需要求出△AMC和△EMB相似，即可求出結(jié)論，根據(jù)圓周角定理可推出它們的對(duì)應(yīng)角相等，即可得△AMC∽△EMB；
（2）根據(jù)圓周角定理，結(jié)合勾股定理，可以推出EC的長(zhǎng)度，根據(jù)已知條件推出AM、BM的長(zhǎng)度，然后結(jié)合（1）的結(jié)論，很容易就可求出EM的長(zhǎng)度；
（3）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，通過(guò)作輔助線，解直角三角形，結(jié)合已知條件和（1）（2）所求的值，可推出Rt△EOF各邊的長(zhǎng)度，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，便可求得sin∠EOB的值．