Question

如圖，BC為⊙O的直徑，BC=4

2

，

AB

=

AC

，P為BC上一動點，M為AB的中點，設(shè)△PAM的周長為m，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,圓周角定理

專題：

分析：連接CM則m的最大值為P移動到B、C點時△ACM的周長，根據(jù)勾股定理即可求得CM的長，進而求得△ACM的周長；作AA′⊥BC，交⊙O于A′，連接A′B、A′C，則四邊形ABA′C是正方形，作MM′⊥BC交A′B于M′，則M′與M關(guān)于BC對稱，連接AM′交BC于P′，P′A+P′M=AM′，此時△PAM的周長為m最�。�
根據(jù)勾股定理求得AM′的長，進而求得△AP′M的周長，即可求得m的取值范圍．

解答：解：∵⊙O的直徑BC=4

2

，
∴∠CAB=90°，
∵弧AB=弧AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴AC=AB=4，
∴AM=

1

2

AB=2，
連接CM，則CM=

AC2+AM2

=2

5

，
∴m的最大值為4+2+2

5

=6+2

5

，
作AA′⊥BC，交⊙O于A′，連接A′B、A′C，則四邊形ABA′C是正方形，
作MM′⊥BC交A′B于M′，則M′與M關(guān)于BC對稱，連接AM′交BC于P′，P′A+P′M=AM′，此時△PAM的周長為m最小；
∵A′B=AB=4，M為AB的中點，
∴BM′=BM=2，
∵AM′=

AB2+BM′2

=2

5

，
∴m的最小值為2+2

5

，
∴m的取值范圍是2+2

5

≤m≤6+2

5

．
故答案為2+2

5

≤m≤6+2

5

．

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題以及軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正方形的判定及性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是確定AP+PM的最大值和最小值．