【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E,F分別在BCAB上,且DEDF,連結(jié)AC,分別交DE,DF于點M,N

1)求證:△ADF≌△CDE;

2)設(shè)△DMN和△AFN的面積分別為S1S2;

若∠ADF=∠EDF,求S2S1的值.

S22S1,求tanADF.

【答案】1)見解析;(2)①S2S1的值為;②tanADF1

【解析】

1)根據(jù)HL證明三角形全等即可;

2)①如圖,作NHABH.設(shè)FH=a.利用參數(shù)表示S2S1即可;

②如圖,作NHABH.易證∠ADF=HNF,設(shè)tanADF=tanFNH=k,設(shè)NH=AH=b,則FH=kb,利用面積關(guān)系構(gòu)建方程求出k即可解決問題.

1)證明:四邊形ABCD是正方形,

∴ABBCCDAD∠DAF∠DCE∠ADC90°,

∵DFDE

∴Rt△ADF≌Rt△CDEHL).

2如圖,作NH⊥ABH.設(shè)FHa

∵Rt△ADF≌Rt△CDEHL),

∵∠ADF∠CDE,

∵∠ADF∠DEF

∴∠ADF∠EDF∠CDE30°,

∴∠AFD60°,

∵∠NHF90°

∴∠FNH30°,

∴HNa,

∵∠NAH45°,∠AHN90°,

∴∠NAH∠ANH45°,

∴HAHNa,

∴AF=(1+aADAF=(3+a,

∴S2AFNH1+aaa2

∵∠ADN∠CDM,ADDC∠DAN∠DCM45°,

∴△ADN≌△CDMASA),

∴SADNSDCM,

∴S1SADC2SADN[3+a]23+aa=(9+6a2

.

3)如圖,作NH⊥ABH

∵∠FHN∠FAD90°,

∴HN∥AD,

∴∠ADF∠HNF,

設(shè)tan∠ADFtan∠FNHk,設(shè)NHAHb,則FHkb,

∴AFb+kb

∴AD,

∴S2 [1+kb]2S1SADC2SADN,

∵S22S1,

1+kb]22[]

整理得:k2+2k20

解得:k11(舍棄),

∴tan∠ADFk1

練習冊系列答案
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