【題目】△ABC中,有,如圖, △DEF的三個頂點D,E,F分別在△ABC的邊BC,AC,AB.

1)已知點FAB的中點.

如圖,若△DEF是等邊三角形,試直接寫出正△DEF的邊長;

如圖,若 DEF 的面積為10,求CD的長;

2)若,DF=DE, DEF的面積是否存在最小值?若存在,求此時CD的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)①;②CD=26;(2

【解析】

(1)①作FG⊥BC交BC于點G,由題可得:CF垂直平分DE、AB,設(shè)CE=CD=a,由勾股定理得DE=DF=a,根據(jù) 等腰直角三角形性質(zhì)得CG=BG=FG=4,DG=4-a,在Rt△FGD中,由勾股定理得一元二次方程,解之可得a值,從而可得等邊三角形△DEF邊長;

②根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和等量代換得∠AFE=∠CFD,由相似三角形判定和性質(zhì)得=1,即EF=DF,AF=CD,設(shè)CD=AF=x,則CE=8-x,由等腰直角三角形面積公式求得EF=DF=2, 在Rt△EFD中,根據(jù)勾股定理得DE=2, 在Rt△EFD中,根據(jù)勾股定理列出方程解之得CD長.

(2)設(shè)CD=x,則BD=8-x,根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和等量代換得∠AEF=∠BFD,由相似三角形判定和性質(zhì)得, 從而可得AF=8-x,BF=x,AE=2x,CE=8-2x,在Rt△CED中,根據(jù)勾股定理求得DE2=5x2-32x+64,由三角形面積公式得S△DEF=DE·DF=, 由二次函數(shù)性質(zhì)可得△DEF的面積存在最小值及CD的長.

(1)解:①作FG⊥BC交BC于點G,如圖:

由題可得:CF垂直平分DE、AB,

設(shè)CE=CD=a,

∵∠ACB=90°,

∴DE=a,

∵△DEF是等邊三角形,

∴DF=a,

∵FG⊥BC,CA=CB=8,

∴CG=BG=FG=4,DG=4-a,

在Rt△FGD中,

∴FD2=DG2+FG2 ,

即(a)2=(4-a)2+42 ,

解得:a=4-4,

∴DE=a=,

∴等邊三角形△DEF邊長為;

②如圖2

∵∠ACB=90°,CA=CB,點F時AB中點,

∴CF⊥AB,CF=AF,∠A=∠BCF=45°,

即∠AFE+∠EFC=90°,

∵∠EFD=90°,

即∠CFD+∠EFC=90°,

∴∠AFE=∠CFD,

在△AEF和△CDF中,

,

∴△AEF≌△CDF(ASA),

∴EF=DF,AF=CD,

設(shè)CD=AF=x,

∵AC=8,

∴CE=8-x,

又∵∠EFD=90°,

∴S△EFD=·EF·DF=10,

∴EF=DF=2,

在Rt△EFD中,

∴DE=

在Rt△EFD中,

∵EC2+CD2=ED2

∴(8-x)2+x2=40,

即(x-2)(x-6)=0,

解得:x=2,或x=6,

∴CD=2或6.

(2)解:設(shè)CD=x,則BD=8-x,

∵CA=CB=8,∠ACB=90°,

∴∠A=∠B=45°,AB=8,

又∵DE=DF,∠EDF=90°,

∴∠DEF=∠DFE=45°,EF=DF,

∴∠AEF+∠AFE=135°,∠BFD+∠AFE=135°,

∴∠AEF=∠BFD,

∴△AFE∽△BDF,

,

∴AF=BD=(8-x)=8-x,BF=AB-AF=x,

∴AE=BF=2x,CE=CA-AE=8-2x,

在Rt△CED中,

∴DE2=CE2+CD2

即DE2=x2+(8-2x)2=5x2-32x+64,

∴S△DEF=·DE·DF=DE2,

=,

=

當且僅當時,△DEF的面積存在最小值,且最小值為.

∴CD=.

練習冊系列答案
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