【題目】如圖,已知直線y=-3x+c與x軸相交于點A(1,0),與y軸相交于點B,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A,B,與x軸的另一個交點是C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是對稱軸的左側拋物線上的一點,當S△PAB=2S△AOB時,求點P的坐標;
(3)連接BC,拋物線上是否存在點M,使∠MCB=∠ABO?若存在,請直接寫出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)P點的坐標為(-2,3);(3)存在點M,使∠MCB=∠ABO,點M的坐標為(,)或(-1,4).
【解析】
(1)先把A點坐標代入y=-3x+c求出得到B(0,3),然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式;
(2)連接OP,如圖1,拋物線的對稱軸為直線x=-1,設P(x,-x2-2x+3)(x<-1),由于S△PAB=S△POB+S△ABO-S△POA,S△PAB=2S△AOB,則S△POB-S△POA=S△ABO,討論:當P點在x軸上方時,×3×(-x)-×1×(-x2-2x+3)=×1×3,當P點在x軸下方時,×3×(-x)+×1×(x2+2x-3)=×1×3,然后分別解方程求出x即可得到對應P點坐標;
(3)解方程-x2-2x+3=0得C(-3,0),則可判斷△OBC為等腰直角三角形,討論:當∠BCM在直線BC下方時,如圖2,直線CM交y軸于D,作DE⊥BC于E,設D(0,t),表示出DE=BE=(3-t),接著利用tan∠MCB=tan∠ABO得到,所以3-(3-t)=(3-t),解方程求出t得到D點坐標,接下來利用待定系數(shù)法確定直線CD的解析式為y=x+,然后解方程組得此時M點坐標;當∠BCM在直線CB上方時,如圖3,CM交直線AB于N,易得直線AB的解析式為y=-3x+3,設N(k,-3k+3),證明△ABC∽△ACN,利用相似比求出AN=,再利用兩點間的距離公式得到(k-1)2+(-3k+3)2=()2,解方程求出t得N點坐標為(-,),易得直線CN的解析式為y=2x+6,然后解方程組得此時M點坐標.
(1)把A(1,0)代入y=-3x+c得-3+c=0,解得c=3,則B(0,3),
把A(1,0),B(0,3)代入y=-x2+bx+c得,解得,
∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3;
(2)連接OP,如圖1,
拋物線的對稱軸為直線x=-=-1,
設P(x,-x2-2x+3)(x<-1),
S△PAB=S△POB+S△ABO-S△POA,
∵S△PAB=2S△AOB,
∴S△POB-S△POA=S△ABO,
當P點在x軸上方時,×3×(-x)-×1×(-x2-2x+3)=×1×3,解得x1=-2,x2=3(舍去),此時P點坐標為(-2,3);
當P點在x軸下方時,×3×(-x)+×1×(x2+2x-3)=×1×3,,解得x1=-2(舍去),x2=3(舍去),
綜上所述,P點坐標為(-2,3);
(3)存在.
當y=0時,-x2-2x+3=0,解得x1=-1,x2=-3,則C(-3,0),
∵OC=OB=3,
∴△OBC為等腰直角三角形,
∴∠OBC=∠OCB=45°,BC=3,
當∠BCM在直線BC下方時,如圖2,直線CM交y軸于D,作DE⊥BC于E,設D(0,t),
∵∠DBE=45°,
∴△BDE為等腰直角三角形,
∴DE=BE=BD=(3-t),
∵∠MCB=∠ABO,
∴tan∠MCB=tan∠ABO,
∴,即CE=3DE,
∴3-(3-t)=(3-t),解得t=,則D(0,),
設直線CD的解析式為y=mx+n,
把C(-3,0),D(0,)代入得,解得,
∴直線CD的解析式為y=x+,
解方程組得或,此時M點坐標為(,);
當∠BCM在直線CB上方時,如圖3,CM交直線AB于N,
易得直線AB的解析式為y=-3x+3,AB=,AC=4
設N(k,-3k+3),
∵∠MCB=∠ABO,∠CBO=∠OCB,
∴∠NCA=∠ABC,
而∠BAC=∠CAN,
∴△ABC∽△ACN,
∴AB:AC=AC:AN,即:4=4:AN,
∴AN=,
∴(k-1)2+(-3k+3)2=()2,
整理得(k-1)2=,解得k1=(舍去),k2=-,
∴N點坐標為(-,),
易得直線CN的解析式為y=2x+6,
解方程組,得或,此時M點坐標為(-1,4),
綜上所述,滿足條件的M點的坐標為(,)或(-1,4).
綜上所述,存在點M,使∠MCB=∠ABO,點M的坐標為(,)或(-1,4).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)(a>0)的圖象與x軸交于A、B兩點,(A在B左側,且OA<OB),與y軸交于點C.
(1)求C點坐標,并判斷b的正負性;
(2)設這個二次函數(shù)的圖像的對稱軸與直線AC交于點D,已知DC:CA=1:2,直線BD與y軸交于點E,連接BC,
①若△BCE的面積為8,求二次函數(shù)的解析式;
②若△BCD為銳角三角形,請直接寫出OA的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,O是等邊△ABC內(nèi)一點,OA=6,OB=8,OC=10,將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO',下列結論:①△BO'A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到;②點O與O'的距離為8;③四邊形AOBO'的面積為24+15; ④∠AOB=150°;⑤s△AOC+S△AOB=9+24,其中正確的結論是_____.
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【題目】如圖,在中,.
⑴已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P,連結AP,求證:;
⑵以點B為圓心,線段AB的長為半徑畫弧,與BC邊交于點Q,連結AQ,若,求的度數(shù).
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【題目】某校在一次社會實踐活動中,組織學生參觀了虎園、烈士陵園、博物館和植物園,為了解本次社會實踐活動的效果,學校隨機抽取了部分學生,對“最喜歡的景點”進行了問卷調查,并根據(jù)統(tǒng)計結果繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖.其中最喜歡烈士陵園的學生人數(shù)與最喜歡博物館的學生人數(shù)之比為2:1,請結合統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)本次活動抽查了 名學生;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)在扇形統(tǒng)計圖中,最喜歡植物園的學生人數(shù)所對應扇形的圓心角是 度;
(4)該校此次參加社會實踐活動的學生有720人,請求出最喜歡烈士陵園的人數(shù)約有多少人?
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【題目】如圖,∠A=∠B,AE=BE,點D在AC邊上,∠1=∠2,AE和BD相交于點O.
(1)求證:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,將半徑為1,圓心角為120°的扇形OAB繞點A逆時針旋轉一個角度,使點O的對應點D落在弧AB上,點B的對應點為C,連接BC,則圖中CD、BC和弧BD圍成的封閉圖形面積是( 。
A. B. C. D.
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【題目】在△ABC中,有,如圖, △DEF的三個頂點D,E,F分別在△ABC的邊BC,AC,AB上.
(1)已知點F是AB的中點.
①如圖①,若△DEF是等邊三角形,試直接寫出正△DEF的邊長;
②如圖②,若, △DEF 的面積為10,求CD的長;
(2)若,DF=DE, △DEF的面積是否存在最小值?若存在,求此時CD的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學為了了解學生每周在校體育鍛煉時間,在本校隨機抽取了若干名學生進行調查,并依據(jù)調查結果繪制了以下不完整的統(tǒng)計圖表,請根據(jù)圖表信息解答下列問題:
時間(小時) | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
2≤t<3 | 4 | 0.1 |
3≤t<4 | 10 | 0.25 |
4≤t<5 | a | 0.15 |
5≤t<6 | 8 | b |
6≤t<7 | 12 | 0.3 |
合計 | 40 | 1 |
(1)表中的a= ,b= ;
(2)請將頻數(shù)分布直方圖補全;
(3)若該校共有1200名學生,試估計全校每周在校參加體育鍛煉時間至少有4小時的學生約為多少名?
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