【題目】如圖,矩形ABCD中,延長AB至E,延長CD至F,BE=DF,連接EF,與BC、AD分別相交于P、Q兩點(diǎn).

(1)求證:CP=AQ;
(2)若BP=1,PQ=2 ,∠AEF=45°,求矩形ABCD的面積.

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°,AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC,

∴∠E=∠F,

∵BE=DF,

∴AE=CF,

在△CFP和△AEQ中, ,

∴△CFP≌△AEQ(ASA),

∴CP=AQ


(2)解:∵AD∥BC,

∴∠PBE=∠A=90°,

∵∠AEF=45°,

∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形,

∴BE=BP=1,AQ=AE,

∴PE= BP= ,

∴EQ=PE+PQ= +2 =3 ,

∴AQ=AE=3,

∴AB=AE﹣BE=2,

∵CP=AQ,AD=BC,

∴DQ=BP=1,

∴AD=AQ+DQ=3+1=4,

∴矩形ABCD的面積=ABAD=2×4=8


【解析】(1)由矩形的性質(zhì)得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°,AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC,證出∠E=∠F,AE=CF,由ASA證明△CFP≌△AEQ,即可得出結(jié)論;(2)證明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形,得出BE=BP=1,AQ=AE,求出PE= BP= ,得出EQ=PE+PQ=3 ,由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出AQ=AE=3,求出AB=AE﹣BE=2,DQ=BP=1,得出AD=AQ+DQ=4,即可求出矩形ABCD的面積.本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識;熟練掌握矩形的性質(zhì),證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

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B.3
C.4
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