【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸交于點,與軸交于點,拋物線經(jīng)過,兩點,與軸的另一交點為點.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點為直線下方拋物線上一動點.
①如圖2所示,直線交線段于點,求的最小值;
② 如圖3所示,連接過點作于,是否存在點,使得中的某個角恰好等于的2倍?若存在,求點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)①當(dāng)時,的最小值為;②存在,點M的坐標(biāo)為或(4,-6).
【解析】
(1)解:在直線,分別令,.可得A(8,0)、B(0,4),將A(8,0)、B(0,4)代入,解得b、c的值再代入即可解答.
(2)解:①如圖1,過C作∥軸交直線AB于點E,過M作∥軸交直線AB于點F.可得CE∥MF,求出直線AB的解析式,進(jìn)而求出C,E的坐標(biāo),即可求出答案;
②由△BOC∽△ABC∠ABC=∠AOB=90°,又于,即∠BDM=∠ABC=90°,∠BAC < 45°.因此在只能是∠BMD=2∠BAC或∠MBD=2∠BAC.在圖2中,取AC中點H,連接BH,可得∠BHO=2∠BAC,,過D作DT軸于T,過M作MGTD交其延長線于G.可證△TBD∽△GDM,再根據(jù)三角函數(shù)得出當(dāng)∠BMD=2∠BAC時,,∠MBD=2∠BAC時,,設(shè)(),則,,當(dāng)∠BMD=2∠BAC時,,又,即可得出,當(dāng)∠MBD=2∠BAC時,,,即可求出M的坐標(biāo)
(1)解:在直線,分別令,.可得A(8,0)、B(0,4),
將A(8,0)、B(0,4)代入有
解得:
∴
(2)解:①如圖1,過C作∥軸交直線AB于點E,過M作∥軸交直線AB于點F.可得CE∥MF,
∴
設(shè),
∵MF∥軸交直線AB于點F,直線AB:
∴,則
可求得C(2,0),C作CE∥y軸交直線AB于點E,
∴E(2,5),CE=5.
∴,
∴當(dāng)時,的最小值為.
②存在.
理由如下:∵C(2,0);B(0,4);A(8,0).
∴OC=2,OB=4,OA=8
可證△BOC∽△ABC.有∠ABC=∠AOB=90°,又于
∴∠BDM=∠ABC=90°,∠BAC < 45°.因此在只能是∠BMD=2∠BAC或∠MBD=2∠BAC.在圖2中,取AC中點H,連接BH,可得∠BHO=2∠BAC,
OH=OAAH=3,tan∠BHO=.
過D作DT軸于T,過M作MGTD交其延長線于G.
可證△TBD∽△GDM,
又DMAB, tan∠DMB=,tan∠DBM=.
當(dāng)∠BMD=2∠BAC時,∴,
∠MBD=2∠BAC時,,
設(shè)(),
則,
∴
當(dāng)∠BMD=2∠BAC時,,又,
∴
解之得,,又0 < m < 8,
∴,點M的坐標(biāo)為.
當(dāng)∠MBD=2∠BAC時,
又,
∴
解之得,,又0<m<8,
∴,點M的坐標(biāo)為
綜合得存在滿足條件的點M的坐標(biāo)為或(4,-6)
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,學(xué)校環(huán)保社成員想測量斜坡CD旁一棵樹AB的高度,他們先在點C處測得樹頂B的仰角為60°,然后在坡頂D測得樹頂B的仰角為30°,已知斜坡CD的長度為20m,DE的長為10m,則樹AB的高度是( )m.
A.20B.30C.30D.40
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某飛機(jī)于空中探測某座山的高度,在點A處飛機(jī)的飛行高度是AF=3700米,從飛機(jī)上觀測山頂目標(biāo)C的俯角是45°,飛機(jī)繼續(xù)以相同的高度飛行300米到B處,此時觀測目標(biāo)C的俯角是50°,求這座山的高度CD.(參考數(shù)據(jù):sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.20).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小輝為了解市政府調(diào)整水價方案的社會反響,隨機(jī)訪問了自己居住在小區(qū)的部分居民,就“每月每戶的用水量”和“調(diào)價對用水行為改變”兩個問題進(jìn)行調(diào)查,并把調(diào)查結(jié)果整理成下面的圖1,圖2.
小輝發(fā)現(xiàn)每月每戶的用水量在之間,有7戶居民對用水價格調(diào)價漲幅抱無所謂,不用考慮用水方式的改變.根據(jù)小軍繪制的圖表和發(fā)現(xiàn)的信息,完成下列問題:
(1) ,小明調(diào)查了 戶居民,并補(bǔ)全圖1;
(2)每月每戶用水量的中位數(shù)落在 之間,眾數(shù)落在 之間;
(3)如果小明所在的小區(qū)有1200戶居民,請你估計“視調(diào)價漲幅采取相應(yīng)的用水方式改變”的居民戶數(shù)多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】上圖為2009年到2015年中關(guān)村國家自主創(chuàng)新示范區(qū)企業(yè)經(jīng)營技術(shù)收入的統(tǒng)計圖.
下面四個推斷:
①2009 年到2015年技術(shù)收入持續(xù)增長;
②2009年到2015年技術(shù)收入的中位數(shù)是3403億;
③2009年到2015年技術(shù)收入增幅最大的是2015年;
④2009年到2011年的技術(shù)收入平均增長率比2013年到2015年技術(shù)收入平均增長率大.
其中,正確的是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中的每個小正方形的邊長均為1,線段 AB的兩個端點均在小正方形的頂點上.
(1)在圖中畫出以AB為直角邊的Rt△ABC,點C在小正方形的頂點上,且Rt△ABC的面積為5;
(2)在(1)的條件下,畫出△BCD,點D在小正方形的頂點上,且tan∠CDB,連接AD,請直接寫出線段AD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB和拋物線的交點是A(0,-3),B(5,9),已知拋物線的頂點D的橫坐標(biāo)是2.
(1)求拋物線的解析式及頂點坐標(biāo);
(2)在軸上是否存在一點C,與A,B組成等腰三角形?若存在,求出點C的坐標(biāo),若不存在,請說明理由;
(3)在直線AB的下方拋物線上找一點P,連接PA,PB使得△PAB的面積最大,并求出這個最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB為⊙O的直徑,AB=8,點C和點D是⊙O上關(guān)于直線AB對稱的兩個點,連接OC、AC,且∠BOC<90°,直線BC和直線AD相交于點E,過點C作直線CG與線段AB的延長線相交于點F,與直線AD相交于點G,且∠GAF=∠GCE
(1)求證:直線CG為⊙O的切線;
(2)若點H為線段OB上一點,連接CH,滿足CB=CH,
①△CBH∽△OBC
②求OH+HC的最大值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,點A (-4,-2),將點A向右平移6個單位長度,得到點B.
(1)若拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A,B,求此時拋物線的表達(dá)式;
(2)在(1)的條件下的拋物線頂點為C,點D是直線BC上一動點(不與B,C重合),是否存在點D,使△ABC和以點A,B,D構(gòu)成的三角形相似?若存在,請求出此時D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)若拋物線y=-x2+bx+c的頂點在直線y=x+2上移動,當(dāng)拋物線與線段有且只有一個公共點時,求拋物線頂點橫坐標(biāo)t的取值范圍.
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