Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)為直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

①如圖2所示，直線交線段于點(diǎn)，求的最小值；

② 如圖3所示，連接過點(diǎn)作于，是否存在點(diǎn)，使得中的某個(gè)角恰好等于的2倍？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當(dāng)時(shí)，的最小值為；②存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或（4，-6）．

【解析】

（1）解：在直線，分別令，.可得A(8，0)、B(0，4)，將A(8，0)、B(0，4)代入，解得b、c的值再代入即可解答.

（2）解：①如圖1，過C作∥軸交直線AB于點(diǎn)E，過M作∥軸交直線AB于點(diǎn)F.可得CE∥MF，求出直線AB的解析式，進(jìn)而求出C,E的坐標(biāo)，即可求出答案；

②由△BOC∽△ABC∠ABC=∠AOB=90°，又于，即∠BDM=∠ABC=90°，∠BAC < 45°．因此在只能是∠BMD=2∠BAC或∠MBD=2∠BAC.在圖2中，取AC中點(diǎn)H，連接BH，可得∠BHO=2∠BAC，，過D作DT軸于T，過M作MGTD交其延長(zhǎng)線于G.可證△TBD∽△GDM，再根據(jù)三角函數(shù)得出當(dāng)∠BMD=2∠BAC時(shí)，，∠MBD=2∠BAC時(shí)，，設(shè)（），則，，當(dāng)∠BMD=2∠BAC時(shí)，，又，即可得出，當(dāng)∠MBD=2∠BAC時(shí)，，，即可求出M的坐標(biāo)

（1）解：在直線，分別令，.可得A(8，0)、B(0，4)，

將A(8，0)、B(0，4)代入有

解得：

∴

（2）解：①如圖1，過C作∥軸交直線AB于點(diǎn)E，過M作∥軸交直線AB于點(diǎn)F.可得CE∥MF，

∴

設(shè)，

∵MF∥軸交直線AB于點(diǎn)F，直線AB：

∴，則

可求得C(2，0)，C作CE∥y軸交直線AB于點(diǎn)E，

∴E(2，5)，CE=5.

∴，

∴當(dāng)時(shí)，的最小值為.

②存在.

理由如下：∵C(2，0)；B(0，4)；A(8，0)．

∴OC=2，OB=4，OA=8

可證△BOC∽△ABC.有∠ABC=∠AOB=90°，又于

∴∠BDM=∠ABC=90°，∠BAC < 45°．因此在只能是∠BMD=2∠BAC或∠MBD=2∠BAC.在圖2中，取AC中點(diǎn)H，連接BH，可得∠BHO=2∠BAC，

OH=OAAH=3，tan∠BHO=.

過D作DT軸于T，過M作MGTD交其延長(zhǎng)線于G.

可證△TBD∽△GDM，

又DMAB， tan∠DMB=，tan∠DBM=.

當(dāng)∠BMD=2∠BAC時(shí)，∴，

∠MBD=2∠BAC時(shí)，，

設(shè)（），

則，

∴

當(dāng)∠BMD=2∠BAC時(shí)，，又，

∴

解之得，，又0 < m < 8，

∴，點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

當(dāng)∠MBD=2∠BAC時(shí)，

又，

∴

解之得，，又0<m<8，

∴，點(diǎn)M的坐標(biāo)為

綜合得存在滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為或（4，-6）