如圖1,若四邊形ABCD、四邊形GFED都是正方形,顯然圖中有AG=CE,AG⊥CE;
(1)當正方形GFED繞D旋轉到如圖2的位置時,AG=CE是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;
(2)當正方形GFED繞D旋轉到如圖3的位置時,延長CE交AG于H,交AD于M.
①求證:AG⊥CH;
②當AD=4,DG=時,求CH的長.

【答案】分析:(1)尋找AG、CE所在的兩個三角形全等的條件,證明全等即可;
(2)①由△AGD≌△CED,可知∠1=∠2,利用對頂角相等及互余關系證明垂直;
②連接GE交AD于P,根據(jù)S△AGD+S△ACD=S四邊形ACDG=S△ACG+S△CGD,再分別表示四個三角形的底和高,列方程求CH.
解答:解:(1)AG=CE成立.
證明:∵四邊形ABCD、四邊形DEFG是正方形,
∴GD=DE,AD=DC,(1分)
∠GDE=∠ADC=90°.
∴∠GDA=90°-∠ADE=∠EDC.                     (2分)
∴△AGD≌△CED.
∴AG=CE.                                     (3分)

(2)①類似(1)可得△AGD≌△CED,
∴∠1=∠2.                                    (4分)
又∵∠HMA=∠DMC,
∴∠AHM=∠ADC=90°,
即AG⊥CH.                                    (5分)
②連接GE,交AD于P,連接CG,
由題意有,
∴AP=3,.                            (8分)
∵EG⊥AD,CD⊥AD,∴EG∥CD,
∴以CD為底邊的△CDG的高為PD=1,(延長CD畫高)
S△AGD+S△ACD=S四邊形ACDG=S△ACG+S△CGD
∴4×1+4×4=×CH+4×1
∴CH=.                                   (10分)
點評:本題綜合性較強,考查了三角形全等、相似的判定及性質,解直角三角形,勾股定理等相關知識.
練習冊系列答案
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將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板,疊放在一起,使得它們的斜邊AB重合,直角邊不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC與BD相交于點E,連接CD.
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(1)填空:如圖1,AC=
 
,BD=
 
;四邊形ABCD是
 
梯形;
(2)請寫出圖1中所有的相似三角形;(不含全等三角形)
(3)如圖2,若以AB所在直線為軸,過點A垂直于AB的直線為軸建立如圖2的平面直角坐標系,保持△ABD不動,將△ABC向x軸的正方向平移到△FGH的位置,F(xiàn)H與BD相交于點P,設AF=t,△FBP面積為S,求S與t之間的函數(shù)關系式,并寫出t的取值范圍.

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如圖1,A、B是直線a上的兩個定點,點C、D在直線b上運動(點C在點D的左側),AB=CD=4cm.已知a∥b,a、b間的距離為
3
cm.連接AC、BD、BC,把△ABC沿直線BC翻折得△A1BC.當A1、D兩點不重合時,連接A1D.
(1)探究A1D與BC的位置關系,并說明理由;
(2)如圖2,若四邊形A1CBD是矩形,求AC的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•葫蘆島一模)(1)如圖1,在矩形ABCD中,AB=2BC,M是AB的中點.直接寫出∠BMD與∠ADM的倍數(shù)關系;
(2)如圖2,若四邊形ABCD是平行四邊形,AB=2BC,M是AB的中點,過C作CE⊥AD與AD所在直線交于點E.
①若∠A為銳角,則∠BME與∠AEM有怎樣的倍數(shù)關系,并證明你的結論;
②當0°<∠A<
120
120
°時,上述結論成立;當
120
120
°≤∠A<180°時,上述結論不成立.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•瑤海區(qū)一模)如圖1,在矩形ABCD(AB<BC)的BC邊上取一點E,使BA=BE,作∠AEF=90°,交AD于F點,易證EA=EF.

(1)如圖2,若EF與AD的延長線交于點F,證明:EA=EF仍然成立;
(2)如圖3,若四邊形ABCD是平行四邊形(AB<BC),在BC邊上取一點E,使BA=BE,作∠AEF=∠ABE,交AD于F點.則EA=EF是否成立?若成立,請說明理由.
(3)由題干和(1)(2)你可以得出什么結論.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知:△ABC為邊長是4
3
的等邊三角形,四邊形DEFG為邊長是6的正方形.現(xiàn)將等邊△ABC和正方形DEFG按如圖1的方式擺放,使點C與點E重合,點B、C(E)、F在同一條直線上,△ABC從圖1的位置出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿EF方向向右勻速運動,當點C與點F重合時暫停運動,設△ABC的運動時間為t秒(t≥0).

(1)在整個運動過程中,設等邊△ABC和正方形DEFG重疊部分的面積為S,請直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式;
(2)如圖2,當點A與點D重合時,作∠ABE的角平分線BM交AE于M點,將△ABM繞點A逆時針旋轉,使邊AB與邊AC重合,得到△ACN.在線段AG上是否存在H點,使得△ANH為等腰三角形.如果存在,請求出線段EH的長度;若不存在,請說明理由.
(3)如圖3,若四邊形DEFG為邊長為4
3
的正方形,△ABC的移動速度為每秒
3
個單位長度,其余條件保持不變.△ABC開始移動的同時,Q點從F點開始,沿折線FG-GD以每秒2
3
個單位長度開始移動,△ABC停止運動時,Q點也停止運動.設在運動過程中,DE交折線BA-AC于P點,則是否存在t的值,使得PC⊥EQ,若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.

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