Question

把一副三角板按如圖甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D₁CE₁（如圖乙）．這時(shí)AB與CD₁相交于點(diǎn)O、與D₁E₁相交于點(diǎn)F．
（1）求∠OFE₁的度數(shù)；
（2）求線段AD₁的長；
（3）若把△DCE繞著點(diǎn)C順時(shí)針再旋轉(zhuǎn)45°得△D₂CE₂，這時(shí)點(diǎn)B在△D₂CE₂的內(nèi)部、外部、還是邊上？說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,含30度角的直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出∠OCB=45°，從而求出∠COB=90°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AO=CO=

1

2

AB，再求出OD₁，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；
（3）設(shè)直線CB與D₂E₂相交于P，然后判斷出△CPE₂是等腰直角三角形，再求出CP，然后與CB相比較即可得解．

解答：解：（1）∵旋轉(zhuǎn)角為15°，
∴∠OCB=60°-15°=45°，
∴∠COB=180°-45°-45°=90°，
∴CD₁⊥AB，
在Rt△D₁OF中，∠OFE₁=∠CD₁E₁+∠D₁OF=30°+90°=120°；

（2）∵CD₁⊥AB，
∴AO=CO=

1

2

AB=

1

2

×6=3，
∴OD₁=DC-CO=7-3=4，
在Rt△AD₁O中，由勾股定理得，AD₁=

AO2+OD12

=

32+42

=5；

（3）點(diǎn)B在△D₂CE₂的內(nèi)部．
理由如下：設(shè)直線CB與D₂E₂相交于P，
∵△DCE繞著點(diǎn)C順時(shí)針再旋轉(zhuǎn)45°，
∴∠PCE₂=15°+30°=45°，
∴△CPE₂是等腰直角三角形，
∴CP=

2

CE₂=

7 2

2

，
∵AB=6，
∴CB=

2

2

AB=3

2

＜

7 2

2

，即CB＜CP，
∴點(diǎn)B在△D₂CE₂的內(nèi)部．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．