Question

如圖，CA、CD分別與⊙O相切于A、D，AB為⊙O的直徑，CO的延長線交⊙O于E，求證：∠B=2∠BDE．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連結(jié)OD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥AC，OD⊥CD，易證得Rt△OAC≌△Rt△ODC，則∠AOC=∠DOC，由圓周角定理得∠AOD=2∠OBD，而∠OBD=∠ODB，所以∠AOC=∠DOC=∠OBD=∠ODB，則可判斷OC∥BD，所以∠BDE=∠E，而∠DOC=2∠E，則∠DOC=2∠BDE，即∠B=2∠BDE．

解答：證明：連結(jié)OD，如圖，
∵CA、CD分別與⊙O相切于A、D，
∴OA⊥AC，OD⊥CD，
而OA=OD，OC公共，
∴Rt△OAC≌△Rt△ODC，
∴∠AOC=∠DOC，
∵∠AOD=2∠OBD，
而∠OBD=∠ODB，
∴∠AOC=∠DOC=∠OBD=∠ODB，
∴OC∥BD，
∴∠BDE=∠E，
∵∠DOC=2∠E，
∴∠DOC=2∠BDE，
∴∠B=2∠BDE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．