Question

已知，正方形CEFG的邊GC在正方形ABCD的邊CD上，延長CD到H，使DH=CE，K在BC邊上，且BK=CE，求證：四邊形AKFH為正方形．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠DCB=∠B=∠ADC=90°，∠GCE=∠E=∠GFE=∠CGF=90°，求出∠ADH=∠HGF=∠E=∠B=90°，BK=GF=DH=EF，KE=GH=AB=AD，證△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出AK=KF=HF=AH，∠BAK=HAD，求出∠HAK=∠BAD=90°，根據(jù)正方形的判定得出即可．

解答：證明：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠DCB=∠B=∠ADC=90°，∠GCE=∠E=∠GFE=∠CGF=90°，
∴∠ADH=∠HGF=∠E=∠B=90°，
∵DH=CE，BK=CE，
∴BK=GF=DH=EF，KE=GH=AB=AD，
在△ABK、△KEF、△HGF、△ADH中

AB=KE=HG=AD ∠B=∠E=∠HGF=∠ADH BK=EF=GF=DH

∴△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，
∴AK=KF=HF=AH，∠BAK=HAD，
∵∠BAD=90°，
∴∠HAK=∠HAD+∠DAK=∠BAK+∠DAK=∠BAD=90°，
∴四邊形AKFH為正方形．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，注意：有一個角是直角的菱形是正方形．