【題目】如圖1,在正方形ABCD中,P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn),點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上,且PA=PE,PE交CD于F.
(1)證明:PC=PE;
(2)求∠CPE的度數(shù);
(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當(dāng)∠ABC=120°時(shí),連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)證明:在正方形ABCD中,AB=BC,
∠ABP=∠CBP=45°,
在△ABP和△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,
∵PA=PE,
∴PC=PE;
(2)由(1)知,△ABP≌△CBP,
∴∠BAP=∠BCP,
∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PE,
∴∠DAP=∠E,
∴∠DCP=∠E,
∵∠CFP=∠EFD(對(duì)頂角相等),
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,
即∠CPF=∠EDF=90°;
(3)在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°,
在△ABP和△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,
∵PA=PE,
∴PC=PE,
∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PC,
∴∠DAP=∠AEP,
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD(對(duì)頂角相等),
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP,
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°,
∴△EPC是等邊三角形,
∴PC=CE,
∴AP=CE.
【解析】(1)先證出△ABP≌△CBP,得PA=PC,由于PA=PE,得PC=PE;
(2)由△ABP≌△CBP,得∠BAP=∠BCP,進(jìn)而得∠DAP=∠DCP,由PA=PC,得到∠DAP=∠E,∠DCP=∠E,最后∠CPF=∠EDF=90°得到結(jié)論;
(3)借助(1)和(2)的證明方法容易證明結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】五子棋深受廣大棋友的喜愛,其規(guī)則是:在 15 15 的正方形棋盤中,由黑方先行,輪流奕子,在任何一方向(橫向、豎向或斜線 方向)上連成五子者為勝。如圖 3 是兩個(gè)五子棋愛好者甲和乙的 部分對(duì)弈圖(甲執(zhí)黑子先行,乙執(zhí)白子后走),觀察棋盤思考:若 A 點(diǎn)的位置記作(8,4),若不讓乙在短時(shí)間內(nèi)獲勝,則甲必須落子 的位置是___________.
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【題目】如圖是一個(gè)利用四邊形的不穩(wěn)定性制作的菱形晾衣架.已知其中每個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為20cm,墻上懸掛晾衣架的兩個(gè)鐵釘A、B之間的距離為 cm,則∠1等于( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
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【題目】如圖,在正方形ABCD外側(cè)作直線DE,點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為M,連接CM,AM,其中AM交直線DE于點(diǎn)N.若45°<∠CDE<90°,當(dāng)MN=3,AN=4時(shí),正方形ABCD的邊長(zhǎng)為( )
A.
B.5
C.5
D.
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【題目】如圖四邊形ABCD和四邊形OEFG都是正方形,點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn),已知AB=2,EF=3,正方形OEFG繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng),OE交BC上一點(diǎn)N,OG交CD上一點(diǎn)M.求四邊形OMCN的面積.
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【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A(a,b),點(diǎn)B(a,0)的坐標(biāo)滿足|a-b|+(a-4)2=0
(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)已知點(diǎn)C(0,b),點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿x軸負(fù)方向以1個(gè)單位每秒的速度移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā),沿y軸負(fù)方向以1.5個(gè)單位每秒的速度移動(dòng).某一時(shí)刻,如圖①所示,且S陰=S四邊形OCAB,求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間;
(3)在(2)的條件和結(jié)論下,如圖②所示,設(shè)AQ交軸于點(diǎn)M,作∠ACO、∠AMB的角平分線交于點(diǎn)N,求此時(shí)的值.
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【題目】為支援四川雅安地震災(zāi)區(qū),某市民政局組織募捐了240噸救災(zāi)物資,現(xiàn)準(zhǔn)備租用甲、乙兩種貨車,將這批救災(zāi)物資一次性全部運(yùn)往災(zāi)區(qū),它們的載貨量和租金如下表:
甲種貨車 | 乙種貨車 | |
載貨量(噸/輛) | 45 | 30 |
租金(元/輛) | 400 | 300 |
如果計(jì)劃租用6輛貨車,且租車的總費(fèi)用不超過2300元,求最省錢的租車方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解七年級(jí)學(xué)生體育測(cè)試成績(jī)情況,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的體育成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下,其中右側(cè)扇形統(tǒng)計(jì)圖中的圓心角α為36°,根據(jù)圖表中提供的信息,回答下列問題:
體育成績(jī)統(tǒng)計(jì)表 | ||
體育成績(jī)(分) | 人數(shù)(人) | 百分比(%) |
26 | 8 | 16 |
27 | 12 | 24 |
28 | 15 | |
29 | n | |
30 |
(1)求樣本容量及n的值;
(2)已知該校七年級(jí)共有500名學(xué)生,如果體育成績(jī)達(dá)28分以上為優(yōu)秀,請(qǐng)估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生體育成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的總?cè)藬?shù).
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【題目】某校九年級(jí)共500名學(xué)生參加法律知識(shí)測(cè)試,從中隨機(jī)抽取一部分試卷成績(jī)(得分取整數(shù))為樣本作統(tǒng)計(jì)分析,進(jìn)行整理后分成五組,并繪制成頻數(shù)分布直方圖(見圖)請(qǐng)結(jié)合直方圖提供的信息,解答以下問題:
(1)隨機(jī)抽取了多少名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?
(2)70.5~80.5這一分?jǐn)?shù)段的頻率是多少?
(3)若90分以上(不含90分)定為優(yōu)秀,樣本中的優(yōu)秀率是多少?
(4)請(qǐng)估計(jì)出該校九年級(jí)這次法律知識(shí)測(cè)試獲得優(yōu)秀的大約有多少人?
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