Question

試證明：二次函數(shù)y=nx²-2mx-2n的圖象與x軸交于不同的A、B兩點(diǎn)，并回答下列問(wèn)題：
若二次函數(shù)y=nx²-2mx-2n的圖象的頂點(diǎn)在以AB為直徑的圓上．
（1）m、n間有何關(guān)系？
（2）設(shè)以AB為直徑的圓與y軸交于點(diǎn)C、D，弦CD的長(zhǎng)是否為定值？

Answer 1

解：令y=0時(shí)，則nx²-2mx-2n=0，
∴△=（-2m）²-4n（-2n）
=4m²+8n²
∵n≠0
∴△＞0
∴方程nx²-2mx-2n=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x₁，x₂
∴二次函數(shù)y=nx²-2mx-2n的圖象與x軸交于不同的交點(diǎn)．
（1）∵y=nx²-2mx-2n
∴y=（x-）²-2n-
所以它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）
HE=||
∵x₁+x₂=，x₁•x₂=-2
∴AB=|x₁-x₂|===
∴=2||
變形為：m²+2n²=1

（2）連接AD、BD
∴∠ADB=90°
∴OD²=OA•OB=|x₁|•|x₂|=|x₁x₂|=2
∴OD=
∵CD=2OD
∴CD=2
即CD的長(zhǎng)為恒值2．
分析：（1）要證明原拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，只要證明當(dāng)y=0時(shí)△＞0就可以說(shuō)明拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．然后將拋物線的解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和兩點(diǎn)間的距離公式可以求出m、n之間的數(shù)量關(guān)系．
（2）利用垂徑定理和圓周角定理可以證明三角形相似來(lái)證明OD²=AO•OB，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以求出OD的值，從而求出CD的值，判斷其為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)情況，根與系數(shù)的關(guān)系及頂點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)用以及定長(zhǎng)的問(wèn)題．