Question

如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB=8，∠CBA=30°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①CE=CF；②線段EF的最小值為2

3

；③當(dāng)AD=2時(shí)，EF與半圓相切；④若點(diǎn)F恰好落在

BC

上，則AD=2

5

；⑤當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線段EF掃過(guò)的面積是16

3

．其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,垂線段最短,平行線的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形,切線的判定,軸對(duì)稱的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）由點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱可得CE=CD，再根據(jù)DF⊥DE即可證到CE=CF．
（2）根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得CD⊥AB時(shí)CD最小，由于EF=2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．
（3）連接OC，易證△AOC是等邊三角形，AD=OD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可求出∠ACD，進(jìn)而可求出∠ECO=90°，從而得到EF與半圓相切．
（4）利用相似三角形的判定與性質(zhì)可證到△DBF是等邊三角形，只需求出BF就可求出DB，進(jìn)而求出AD長(zhǎng)．
（5）首先根據(jù)對(duì)稱性確定線段EF掃過(guò)的圖形，然后探究出該圖形與△ABC的關(guān)系，就可求出線段EF掃過(guò)的面積．

解答：解：①連接CD，如圖1所示．
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴CE=CD．
∴∠E=∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°．
∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°．
∴∠F=∠CDF．
∴CD=CF．
∴CE=CD=CF．
∴結(jié)論“CE=CF”正確．

②當(dāng)CD⊥AB時(shí)，如圖2所示．
∵AB是半圓的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，AC=4，BC=4

3

．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD=

1

2

BC=2

3

．
根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：
點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD的最小值為2

3

．
∵CE=CD=CF，
∴EF=2CD．
∴線段EF的最小值為4

3

．
∴結(jié)論“線段EF的最小值為2

3

”錯(cuò)誤．

③當(dāng)AD=2時(shí)，連接OC，如圖3所示．
∵OA=OC，∠CAB=60°，
∴△OAC是等邊三角形．
∴CA=CO，∠ACO=60°．
∵AO=4，AD=2，
∴DO=2．
∴AD=DO．
∴∠ACD=∠OCD=30°．
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴∠ECA=∠DCA．
∴∠ECA=30°．
∴∠ECO=90°．
∴OC⊥EF．
∵EF經(jīng)過(guò)半徑OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF與半圓相切．
∴結(jié)論“EF與半圓相切”正確．

④當(dāng)點(diǎn)F恰好落在

BC

上時(shí)，連接FB、AF，如圖4所示．
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，
∴ED⊥AC．
∴∠AGD=90°．
∴∠AGD=∠ACB．
∴ED∥BC．
∴△FHC∽△FDE．
∴

FH

FD

=

FC

FE

．
∵FC=

1

2

EF，
∴FH=

1

2

FD．
∴FH=DH．
∵DE∥BC，
∴∠FHC=∠FDE=90°．
∴BF=BD．
∴∠FBH=∠DBH=30°．
∴∠FBD=60°．
∵AB是半圓的直徑，
∴∠AFB=90°．
∴∠FAB=30°．
∴FB=

1

2

AB=4．
∴DB=4．
∴AD=AB-DB=4．
∴結(jié)論“AD=2

5

”錯(cuò)誤．

⑤∵點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于AC對(duì)稱，
點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱，
∴當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，
點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑AM與AB關(guān)于AC對(duì)稱，
點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑NB與AB關(guān)于BC對(duì)稱．
∴EF掃過(guò)的圖形就是圖5中陰影部分．
∴S_陰影=2S_△ABC
=2×

1

2

AC•BC
=AC•BC
=4×4

3

=16

3

．
∴EF掃過(guò)的面積為16

3

．
∴結(jié)論“EF掃過(guò)的面積為16

3

”正確．
故答案為：①、③、⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、軸對(duì)稱的性質(zhì)、含30°角的直角三角形、垂線段最短等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，有一定的難度．