Question

如圖，二次函數(shù)y=

4

3

x²+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（-1，0），與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長度的速度分別沿AB，AC邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A，E，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請求出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，△APQ沿PQ翻折，點(diǎn)A恰好落在拋物線上D點(diǎn)處，請判定此時(shí)四邊形APDQ的形狀，并求出D點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)y=

4

3

x²+bx+c中，求得b、c，進(jìn)而可求解析式及C坐標(biāo)．
（2）等腰三角形有三種情況，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分線，畫圓易得E大致位置，設(shè)邊長為x，表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標(biāo)．
（3）注意到P，Q運(yùn)動(dòng)速度相同，則△APQ運(yùn)動(dòng)時(shí)都為等腰三角形，又由A、D對(duì)稱，則AP=DP，AQ=DQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形．利用菱形對(duì)邊平行且相等等性質(zhì)可用t表示D點(diǎn)坐標(biāo)，又D在E函數(shù)上，所以代入即可求t，進(jìn)而D可表示．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=

4

3

x²+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（-1，0），
∴

0= 4 3 •9+3b+c 0= 4 3 •1-b+c

，
解得

b=- 8 3 c=-4

，
∴y=

4

3

x²-

8

3

x-4．
∴C（0，-4）．

（2）存在．
如圖1，過點(diǎn)Q作QD⊥OA于D，此時(shí)QD∥OC，

∵A（3，0），B（-1，0），C（0，-4），O（0，0）
∴AB=4，OA=3，OC=4，
∴AC=

32+42

=5，
∵當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，AB=4，
∴AQ=4．
∵QD∥OC，
∴

QD

OC

=

AD

AO

=

AQ

AC

，
∴

QD

4

=

AD

3

=

4

5

，
∴QD=

16

5

，AD=

12

5

．
①作AQ的垂直平分線，交AO于E，此時(shí)AE=EQ，即△AEQ為等腰三角形，
設(shè)AE=x，則EQ=x，DE=AD-AE=

12

5

-x，
∴在Rt△EDQ中，（

12

5

-x）²+（

16

5

）²=x²，解得 x=

10

3

，
∴OA-AE=3-

10

3

=-

1

3

，
∴E（-

1

3

，0）．
②以Q為圓心，AQ長半徑畫圓，交x軸于E，此時(shí)QE=QA=4，
∵ED=AD=

12

5

，
∴AE=

24

5

，
∴OA-AE=3-

24

5

=-

9

5

，
∴E（-

9

5

，0）．
③當(dāng)AE=AQ=4時(shí)，
1．當(dāng)E在A點(diǎn)左邊時(shí)，
∵OA-AE=3-4=-1，
∴E（-1，0）．
2．當(dāng)E在A點(diǎn)右邊時(shí)，
∵OA+AE=3+4=7，
∴E（7，0）．
綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-

1

3

，0）或（-

9

5

，0）或（-1，0）或（7，0）．

（3）四邊形APDQ為菱形，D點(diǎn)坐標(biāo)為（-

5

8

，-

29

16

）．理由如下：
如圖2，D點(diǎn)關(guān)于PQ與A點(diǎn)對(duì)稱，過點(diǎn)Q作，F(xiàn)Q⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，
∴AP=AQ=QD=DP，
∴四邊形AQDP為菱形，
∵FQ∥OC，
∴

AF

AO

=

FQ

OC

=

AQ

AC

，
∴

AF

3

=

FQ

4

=

t

5

，
∴AF=

3

5

t，F(xiàn)Q=

4

5

t，
∴Q（3-

3

5

t，-

4

5

t），
∵DQ=AP=t，
∴D（3-

3

5

t-t，-

4

5

t），
∵D在二次函數(shù)y=

4

3

x²-

8

3

x-4上，
∴-

4

5

t=

4

3

（3-

8

5

t）²-

8

3

（3-

8

5

t）-4，
∴t=

145

64

，或t=0（與A重合，舍去），
∴D（-

5

8

，-

29

16

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知識(shí)，總體來說題意復(fù)雜但解答內(nèi)容都很基礎(chǔ)，是一道值得練習(xí)的題目．