Question

已知函數(shù)y=x²+（2m+1）x+m²-1，其中m為實數(shù)．
（1）當(dāng)m是什么數(shù)值時，y有最小值為0？
（2）求證：不論m是什么數(shù)值時，拋物線的頂點都在同一直線l上；
（3）求證：任何一條平行于l而與拋物線相交的直線被各拋物線截出的線段都相等．

Answer 1

【答案】分析：（1）運(yùn)用頂點式求出二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，即可得出m的值；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，得出頂點坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)，即可得出有關(guān)x，y的函數(shù)關(guān)系式，從而證明結(jié)論；
（3）利用根的判別式得出b的取值范圍，進(jìn)而求出方程的兩根，根據(jù)兩根之間距離得出答案．
解答：解：（1）∵y=x²+（2m+1）x+m²-1，
∴，
∴y的最小值為，
∵y有最小值為0，
∴，
∴；

（2）∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（，），
∴，，
∴
∴不論m是什么數(shù)值時，拋物線的頂點都在同一直線上；

（3）設(shè)直線y=x+b為任一平行于l的直線，
則y=x+b，y=x²+（2m+1）x+m²-1，
∴x²+2mx+m²-b-1=0，
∵△=（2m）²-4（m²-b-1）≥0，
∴b≥-1
即當(dāng)b≥-1時，直線l與拋物線相交，
當(dāng)b≥-1時，，
∴，，
∵直線l的k=1，
∴直線l被拋物線截出的線段長為：，
∴=，
這與m無關(guān)，因此直線y=x+b被拋物線截出的線段都相等．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)與一元二次方程根的判別式有機(jī)結(jié)合是難點內(nèi)容，應(yīng)正確的分析，求二次函數(shù)頂點坐標(biāo)是中考中重點內(nèi)容同學(xué)們應(yīng)熟練掌握．