Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c 的圖象與 x 軸交于 B、C 兩點(diǎn)，交 y 軸于點(diǎn) A.

（1）根據(jù)圖象請(qǐng)用“＞”、“＜”或“=”填空：a 0，b 0，c 0；

(2)如果 OC＝OA＝ OB，BC＝3，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;

(3) 在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上，存在點(diǎn) Q 使得△OQA 的周長(zhǎng)最短，試求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）a＞0，b＞0，c＜0; （2）y=x2+x-1；（3）Q（-，）.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線開(kāi)口方向、對(duì)稱軸方程以及拋物線與y軸交點(diǎn)的位置確定a，b，c的符號(hào)；

（2）首先由函數(shù)圖象可確定A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別代入二次函數(shù)y=ax2+bx+c中即可解得系數(shù)，進(jìn)而即得解析式．

（3）設(shè)O關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接AD交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，求出直線AD的解析式，把對(duì)稱軸x=-即可求出Q的坐標(biāo).

解：（1）如圖，∵拋物線開(kāi)口方向向上，

∴a＞0．

又∵對(duì)稱軸x=-＜0，

∴a、b同號(hào)，即b＞0．

∵拋物線與y軸交與負(fù)半軸，

∴c＜0．

綜上所述，a＞0，b＞0，c＜0．

（2）∵OC=OA=OB，BC=3，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），

把A，B，C三點(diǎn)分別代入二次函數(shù)y=ax2+bx+c中可得：

，

解得，

∴該二次函數(shù)的解析式是：y=x2+x-1；

（3）如圖，設(shè)O關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接AD交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，

對(duì)于y=x2+x-1，其對(duì)稱軸為：直線x=-，

∵O關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，

∴D(-1，0),

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，把D（-1，0），A（0，-1）代入得

，解得，

∴y=-x-1，

當(dāng)x=-時(shí)，y=，

∴Q（-，）.