Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+mx（m＞0且m≠1）與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，﹣1），連結(jié)AB，將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC，連結(jié)OB、OC．

（1）求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)．（用含m的代數(shù)式表示）．
（2）若m=3，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．
（3）當(dāng)點(diǎn)C與拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)，求四邊形ABOC的面積．
（4）結(jié)合m的取值范圍，直接寫出∠AOC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+mx與x軸交于點(diǎn)A，

∴﹣x2+mx=0，解得x=0或m，

∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m．

（2）（2，2）
（3）

解：如圖2中，作BD⊥OA于D，CE⊥OA于E．

由（2）可知△ADB≌△CEA，

∴BD=AE，AD=CE

∵B（1，﹣1），A（m，0），

∴OE=m﹣1，CE=m﹣1，

∴C（m﹣1，m﹣1），

∵點(diǎn)C（m﹣1，m﹣1）與拋物線的頂點(diǎn)（ ， ）重合，

∴m﹣1= ，

∴m=2．

∴S四邊形ABOC= ×2×（1+1）=2．

（4）

解：①如圖3中，當(dāng)O＜m＜1時(shí)，∠AOC=135°，理由如下：

作CN⊥x軸于N，BM⊥x軸于M．

∵∠NAC+∠BAM=90°，∠BAM+∠ABM=90°，

∴∠NAC=∠ABM，

在△ACN和△BAM中，

，

∴△ACN≌△BAM，

∴BM=AN=1，CN=AM，

∴AN=OM=1，

∴ON=CN，

∴∠NOC=∠NC0=45°，

∴∠AOC=135°

②當(dāng)m＞1時(shí)，∠AOC=45°，理由如下：

作CN⊥x軸于N，BM⊥x軸于M，∵△ACN≌△BAM，

∴BM=AN=OM=1，AM=CN，

∴ON=AM=CN，∵∠ONC=90°，

∴∠COA=45°．

【解析】解：（2）如圖1中，∵m=3，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，0），
作BD⊥OA于D，CE⊥OA于E．
∵∠ADB=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠DBA，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA，
∴BD=AE=1，AD=CE=2，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（2，2）．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．