Question

實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=2，且對(duì)任何實(shí)數(shù)t，都有不等式-t²+2t≤ab+bc+ca≤9t²-18t+10，求證：0≤a≤

4

3

，0≤b≤

4

3

，0≤c≤

4

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式

專題：計(jì)算題

分析：通過(guò)配方法求得：對(duì)于任何實(shí)數(shù)t，有-t²+2t≤1，9t²-18t+10≥1．所以取特殊值t=1可以得到ab+bc+ca=1．然后結(jié)合已知條件求得a+b=2-c，ab=（c-1）²，則a、b是一元二次方程t²-（2-c）t+（c-1）²=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根的判別式知3c²-4c≤0，通過(guò)解該不等式得到0≤c≤

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3

．同理0≤a≤

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3

，0≤b≤

4

3

．

解答：證明：∵對(duì)于任何實(shí)數(shù)t，有-t²+2t=-（t-1）²+1≤1，9t²-18t+10=9（t-1）²+1≥1，
∴t=1時(shí)，1≤ab+bc+ca≤1，
∴ab+bc+ca=1．
∵a+b+c=2，則a+b=2-c，
∴ab=1-c（a+b）=1-c（2-c）=（c-1）²，
則a、b是一元二次方程t²-（2-c）t+（c-1）²=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△=（2-c）²-4（c-1）²≥0，即3c²-4c≤0，
解得0≤c≤

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3

．
同理0≤a≤

4

3

，0≤b≤

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的判別式．利用判別式證明不等式，常常要把證明的內(nèi)容通過(guò)韋達(dá)定理以及其它代數(shù)式變形手段，放到某個(gè)一元二次方程的系數(shù)中去．