Question

如圖，在菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足E為BC的中點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)為DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，求DE和AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知及菱形的性質(zhì)利用AAS判定△ADF∽△DEC．
（2）勾股定理求出AE，DE的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵∠B+∠C=180°，∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠C=∠AFD．
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC．
∵AD=DC，
∴△ADF∽△DEC．

（2）解：∵AB=4，E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=2，AE=2

3

，DE=

AD2+AE2

=2

7

．
∵△ADF∽△DEC，
∴

DE

AD

=

DC

AF

．
∴AF=

8 7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，會(huì)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求線段的長(zhǎng)．