Question

如圖，如圖正方形ABCD內(nèi)一點E，滿足△CDE為正三角形，直線AE交BC于F點，過E點的直線GH⊥AF，交AB于點G，交CD于點H．以下結(jié)論：
①∠AFC=105°；②GH=2EF；③

2

CE=EF+EH；④

AE

EH

=

2

3

其中正確的有（　　）

A．①②③

B．①③④

C．①④

D．①②③④

Answer 1

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠CDE，然后求出∠ADE=30°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠DAE=75°，然后求出∠BAF=15°，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠AFC=105°，判斷出①正確，過點H作HK⊥AB，可得HK=AD，根據(jù)等角的余角相等求出∠BAF=∠KHG，再利用“角角邊”證明△ABF和△HKG，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=GH，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，點E是AF的中點，從而得到GH=2EF，判斷出②正確；再求出∠CEF=∠CEH=45°，過點F作FM⊥CE于M，過點H作HN⊥CE于N，解直角三角形分別用MF、CN表示出CE，可以得到MF=CN，再表示出CE，即可判定③正確；設(shè)MF=CN=x，表示出EF、EH，然后求出

AE

EH

的值，判斷出④錯誤．

解答：解：∵△CDE為正三角形，
∴∠CDE=60°，
∴∠ADE=90°-60°=30°，
∵AD=DE=CD，
∴∠DAE=∠DEA=

1

2

（180°-30°）=75°，
∴∠BAF=90°-75°=15°，
∴∠AFC=90°+15°=105°，故①正確；
過點H作HK⊥AB，則HK=AD，
∵GH⊥AF，
∴∠BAF+∠AGE=90°，
又∵∠AGE+∠KHG=90°，
∴∠BAF=∠KHG，
在△ABF和△HKG中，

∠BAF=∠KHG ∠B=∠HKG=90° HK=AB

，
∴△ABF≌△HKG（AAS），
∴AF=GH，
∵△CDE為正三角形，
∴點E在CD的垂直平分線上，
根據(jù)平行線分線段成比例定理，點E是AF的中點，
∴AF=2EF，
∴GH=2EF，故②正確；
∵GH⊥AF，∠DEA=75°，
∴∠DEH=90°-75°=15°，
∴∠CEH=60°-15°=45°，
∴∠CEF=90°-45°=45°，
過點F作FM⊥CE于M，過點H作HN⊥CE于N，
則MF=EM，NH=EN，
∵△CDE是等邊三角形，
∴∠DCE=60°，
∴∠ECF=90°-60°=30°，
∴CM=

3

MF，NH=

3

CN，
∴CE=

3

MF+MF=

3

CN+CN，
∴MF=CN，
∴CE=

2

2

EF+

2

2

EH，
∴

2

CE=EF+EH，故③正確；

AE

EH

=

EF

EH

=

2 MF

3 CN• 2

=

3

3

，故④錯誤．
綜上所述，正確的結(jié)論是①②③．
故選A．

點評：本題考查了四邊形綜合題型，主要利用了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形與等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．