Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點P，頂點為C（2，-9）．
（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；
（2）作點C關(guān)于x軸的對稱點D，順次連接A，C，B，D．若在拋物線上存在點E，使直線PE將四邊形ACBD分成面積相等的兩個四邊形，求點E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，F(xiàn)為拋物線上的一個動點，記△PEF的面積為S，問S取何值時，相應(yīng)的F點有且只有3個．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中二次項系數(shù)是1，已知了它的頂點坐標(biāo)，直接寫成頂點式即可．
（2）根據(jù)拋物線的對稱性知，A、B關(guān)于直線CD對稱，而C、D關(guān)于x軸對稱，顯然四邊形ACBD是個菱形，若直線PE將四邊形ACBD平分成兩個相等面積的四邊形，那么直線PE必然經(jīng)過AB、CD的交點（或拋物線對稱軸與x軸的交點），可根據(jù)這個條件先求出直線PE的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式后就能確定點E的坐標(biāo)．
（3）由題意，能構(gòu)成面積相同的△PEF的三角形有且只有三個，觀察圖示可以發(fā)現(xiàn)，在直線PE上方顯然有兩個，那么在PE下方有且只有一個點F，若過點F作直線PE的平行線，那么該直線與拋物線有且只有一個交點，即在直線PE下方的拋物線圖象上，該點到直線PE的距離最大，而PE長不變，那么此時△PEF的面積最大，即S的值最大，可過點F作y軸的平行線，交直線PE于點H，首先設(shè)出P、H的坐標(biāo)，則PH的長可得，以PH為底、點E到y(tǒng)軸的距離為高就能得到S的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出S的最大值．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的頂點為（2，-9），
∴二次函數(shù)的解析式：y=（x-2）²-9=x²-4x-5．

（2）∵C、D關(guān)于x軸對稱，
∴AD=AC、BC=BD，且CD∥y軸；
由拋物線的對稱性知，點A、B關(guān)于直線CD對稱，則：AD=BD、AC=BC；
∴AC=BC=BD=AD，即四邊形ACBD是菱形；
若直線PE將四邊形ACBD平分成兩個面積相等的四邊形，則直線PE必過AB、CD的交點G（2，0），
設(shè)直線PE的解析式為：y=kx+b（k≠0），將P（0，-5）、G（2，0）代入，得：

b=-5 2k+b=0

，
解得

k= 5 2 b=-5

．
故直線PE：y=

5

2

x-5，聯(lián)立拋物線的解析式，得：

y= 5 2 x-5 y=x2-4x-5

，
解得

x1=0 y1=-5

，

x2= 13 2 y2= 45 4

故點E的坐標(biāo)（

13

2

，

45

4

）．

（3）通過圖示可以發(fā)現(xiàn)，
當(dāng)點F在直線PE上方時，在直線PE的上方一定有兩個點F；
當(dāng)點F在直線PE下方時，若相應(yīng)的F點有且只有3個，那么直線PE下方的點F只有一個；過點F作PE的平行線，該直線必與拋物線有且只有一個交點，此時點F到直線PE的距離最長；
以PE為底、點F到直線PE的距離為高，此時△PEF的面積最大，即S最大（情況如右圖）；
設(shè)點F的坐標(biāo)為（x，x²-4x-5），過點F作FH∥y軸，交直線PE于點H，則H（x，

5

2

x-5），則：
FH=（

5

2

x-5）-（x²-4x-5）=-x²+

13

2

x；
則S=

1

2

×

13

2

×（-x²+

13

2

x）=-

13

4

（x-

13

4

）²+

2197

64

；
綜上，當(dāng)S=

2197

64

時，相應(yīng)的F點有且只有三個．

點評：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、菱形的判定和性質(zhì)、拋物線的對稱性、圖形面積的解法等綜合知識；（3）題的難度較大，將點的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角形面積的最大值問題是解答題目的關(guān)鍵所在．