Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°AC=BC=6cm，正方形DEFG的邊長(zhǎng)為2cm，其一邊EF在BC所在的直線L上，開(kāi)始時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，讓正方形DEFG沿直線L向右以每秒1cm的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，最后點(diǎn)E與點(diǎn)B重合．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出該正方形運(yùn)動(dòng)6秒時(shí)與△ABC重疊部分面積的大小；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），運(yùn)動(dòng)過(guò)程中正方形DEFG與△ABC重疊部分的面積為y（cm²）．
①在該正方形運(yùn)動(dòng)6秒后至運(yùn)動(dòng)停止前這段時(shí)間內(nèi)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②在該正方形整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求當(dāng)x為何值時(shí)，y=

1

2

．

Answer 1

（1）如圖1，重疊部分的面積為

1

2

×2²=2cm²

（2）①當(dāng)正方形停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，此時(shí)x=8，如圖2，

當(dāng)6＜x＜8時(shí)，設(shè)正方形DEFG與AB交于點(diǎn)M，在Rt△MEB中，∠MEB=90°，ME=EB=CB-CE=6-（x-2）=8-x
∴重疊部分面積：y=S_△MEB=

1

2

•EB²=

1

2

（8-x）²
②在正方形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，分四種情況：當(dāng)0＜x＜2時(shí)，如圖3，

重疊部分面積y=2x，且0＜y＜4
令y=

1

2

，得2x=

1

2

，解得x=

1

4

當(dāng)2≤x≤4時(shí)，如圖4，

重疊部分面積都為4cm²，此時(shí)y≠

1

2

當(dāng)4＜x≤6時(shí)，如圖5，

易見(jiàn)重疊部分面積y隨x的增大而減小
由上面得出的結(jié)論知當(dāng)x=4時(shí)，y=4；由（1）知當(dāng)x=6時(shí)，y=2
∴2≤y＜4，此時(shí)y≠

1

2

當(dāng)6＜x＜8時(shí)，由（2）①已求得y=

1

2

（8-x）²=

1

2

（x-8）²，
∵y隨x的增大而減小，又當(dāng)x=6時(shí)，y=2，當(dāng)x=8時(shí)，y=0時(shí)，
∴0＜y＜2
令y=

1

2

（x-8）²=

1

2

，解得x₁=7，x₂=9（不合題意，舍去）
∴x=7
綜上，當(dāng)x=

1

4

或x=7時(shí)，y=

1

2

．