Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AE-ED-DB運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止．點(diǎn)P在折線AE-ED上以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，在DB上以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng). 過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，以PQ為邊在PQ右側(cè)作正方形PQMN，使點(diǎn)M落在線段BC上．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（）.

（1）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求正方形PQMN的頂點(diǎn)N落在AB邊上時(shí)對應(yīng)的的值；
（2）連結(jié)BE，設(shè)正方形PQMN與△BED重疊部分圖形的面積為S，請直接寫出S與之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量的取值范圍；
（3）當(dāng)正方形PQMN頂點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)E重合時(shí)，將正方形PQMN繞點(diǎn)Q逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得正方形
P₁ Q M₁ N₁，問在直線DE與直線AC上是否存在點(diǎn)G和點(diǎn)H，使△GHP₁是等腰直角三角形? 若
存在，請求出EG的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）t="2s" （2） （3）在直線DE與直線AC上存在點(diǎn)G和點(diǎn)H，使△GHP₁是等腰直角三角形，

試題分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P在AE上時(shí)， 由△APN∽△ACB得
∴       ∴t=2s         
當(dāng)點(diǎn)P在ED上時(shí)，PN="3" ，∴AE+EP=3+6-3=6  ∴t=6s   
（2） 
（3）在直線DE與直線AC上存在點(diǎn)G和點(diǎn)H，使△GHP₁是等腰直角三角形. 理由如下：
過P₁作P₁S⊥AC于S, P₁R⊥DE于R,

分別是圖1 2 3 4
∵∠P₁QS=60°，P₁Q=3，
∴P₁S=RE=, QS
∴P₁R=SE=.
當(dāng)∠P₁GH=90°時(shí),
可證△P₁RG≌△GEH，則EG= P₁R= 
當(dāng)∠P₁HG=90°時(shí), （如圖3、4）
可證△P₁SH≌△HEG，
∴EH=P₁S=，EG=SH,
點(diǎn)評：本題考查相似三角形，全等三角形，函數(shù)關(guān)系式，解答本題需要掌握相似三角形，全等三角形的判定方法，并會(huì)證明