Question

已知∠ABC=90°，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），分別以AB、AP為邊在∠ABC的內(nèi)部作等邊△ABD和△APE，連接DE并延長交BP于點(diǎn)F．
（1）如圖（1）所示：當(dāng)∠APB=30°時，DF

 

BF（請用“＞”“=”或“＜”填空）
（2）當(dāng)∠APB≠30°時，其余條件均不變，請畫出相應(yīng)的圖形；
（3）請結(jié)合所畫出的圖形，分析（1）的結(jié)論還成立嗎？如果成立請證明；如果不成立請寫出新的結(jié)論并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AF，求出AD=AB，根據(jù)勾股定理求出BF=DF即可；
（2）根據(jù)題意畫出圖形即可；
（3）分為兩種情況，證△ABP≌△AED，推出∠ADE=∠ABP=90°，即可得出答案．

解答：（1）解：DF=BF，
理由是：連接AF，
∵∠APB=30°，∠ABP=90°，
∴AB=

1

2

AP，
∵△ABD是等邊三角形，
∴AB=AD=BD=DP，
在Rt△ABF和Rt△ADF中，AF=AF，AB=AD，由勾股定理得：BF=DF，
故答案為：=．


（2）如圖：

（3）成立，
證明：∵∠BAP=∠BAD+∠DAP=60°+∠DAP，
∠EAD=∠EAP+∠DAP=60°+∠DAP，
∴∠BAP=∠EAD，
在△ABP和△AED中

AB=AD ∠BAP=∠EAD AP=AE

∴△ABP≌△AED，
∴∠ADE=∠ABP=90°，
∴∠BDF=90°-60°=30°
又∵∠DBF=90°-60°=30°，
∴DF=BF；
如圖（2）
證明：∵∠BAP=∠BAD-∠DAP=60°-∠DAP，
∠EAD=∠EAP-∠DAP=60°-∠DAP，
∴∠BAP=∠EAD．             
在△ABP和△AED中

AB=AD ∠BAP=∠EAD AP=AE

∴△ABP≌△AED，
∴∠ADE=∠ABP=90°，
∴∠BDF=90°-60°=30°
又∵∠DBF=90°-60°=30°，
∴DF=BF．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，難度偏大．