Question

如圖1，已知矩形ABED，點C是邊DE的中點，且AB=2AD。

（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）保持圖1中ABC固定不變，繞點C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖2中（當垂線段AD、BE在直線MN的同側(cè)），試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關(guān)系？并給予證明；
（3）保持圖2中△ABC固定不變，繼續(xù)繞點C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖3中的位置（當垂線段AD、BE在直線MN的異側(cè)），試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關(guān)系？并給予證明。

Answer 1

解：（1）△ABC為等腰直角三角形。 如圖1，在矩形ABED中， ∵點C是邊DE的中點，且AB=2AD， ∴AD=DC=CE=EB，DD=DE=90°， ∴Rt△ADC≌Rt△BEC， ∴AC=BC，∠1=∠2=45°， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC為等腰直角三角形； （2）DE=AD+BE； 如圖2，在Rt△ADC和Rt△CEB中， ∵∠1+∠CAD=90°，∠1+∠2=90°， ∴∠CAD=∠2， 又∵AC=CB，∠ADC=∠CEB=90°， ∴Rt△ADC≌Rt△CEB， ∴DC=BE，CE=AD， ∴DC+CE=BE+AD，即DE=AD+BE； （3）DE=BE-AD。 如圖3，Rt△ADC和Rt△CEB中， ∵∠1+∠CAD=90°，∠1+∠2=90°， ∴∠CAD=∠2， 又∵∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB， ∴Rt△ADC≌Rt△CEB， ∴DC=BE，CE=AD， ∴DC-CE=BE-AD，即DE=BE-AD。