Question

如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，長方形OACB的頂點A、B分別在x軸與y軸上，已知A點坐標為（a，0），B點坐標為（0，b），且a，b滿足+|2a﹣b﹣2|=0．D為y軸上一點，其坐標為（0，2），點P從點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿線段AC﹣CB的方向運動，當點P與點B重合時停止運動，運動時間為t秒．

（1）當點P經(jīng)過點C時，求直線DP的函數(shù)解析式；

（2）①求△OPD的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式；

②如圖②，把長方形沿著OP折疊，點B的對應(yīng)點B′恰好落在AC邊上，求點P的坐標．

（3）點P在運動過程中是否存在使△BDP為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 解：（1）∵a，b滿足+|2a﹣b﹣2|=0，

∴，解得，

∴點坐標為（6，0），B點坐標為（0，10），

∴C（6，10），

設(shè)此時直線DP解析式為y=kx+b，如圖1，

將D（0，2），C（6，10）代入得：，

解得：，

則此時直線DP解析式為y=x+2；

（2）①當點P在線段AC上時，OD=2，高為6，S=6；

當點P在線段BC上時，OD=2，高為6+10﹣t=16﹣t，S=×2×（16﹣t）=﹣t+16；

②設(shè)P（m，10），則PB=PB′=m，如圖2，

∵OB′=OB=10，OA=6，

∴AB′==8，

∴B′C=10﹣8=2，

∵PC=6﹣m，

∴m²=2²+（6﹣m）²，解得m=

則此時點P的坐標是（，10）；

（3）存在，理由為：

若△BDP為等腰三角形，分三種情況考慮：如圖3，

①當BD=BP₁=OB﹣OD=10﹣2=8，

在Rt△BCP₁中，BP₁=8，BC=6，

根據(jù)勾股定理得：CP₁==2，

∴AP₁=10﹣2，即P₁（6，10﹣2）；

②當BP₂=DP₂時，此時P₂（6，6）；

③當DB=DP₃=8時，

在Rt△DEP₃中，DE=6，

根據(jù)勾股定理得：P₃E==2，

∴AP₃=AE+EP₃=2+2，即P₃（6，2+2），

綜上，滿足題意的P坐標為（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．