Question

【題目】如圖，中，是的角平分線，是上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作與相切于點(diǎn)．

（1）求證：＝

（2）若________＝，________＝，填空

①________的半徑長(zhǎng)為________；

②________＝________．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）,,,,,

【解析】

（1）連接OD，如圖，先證明OD∥AC，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥BC，則AC⊥BC，從而可判斷∠ACB=90°；

（2）根據(jù)題意，若AC=3，BC=4，①先利用勾股定理計(jì)算出AB=5，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=OD=r，OB=5-r，證明△BDO∽△BCA，利用相似比得到，然后解關(guān)于r的方程即可；

②利用△BDO∽△BCA得到，則可計(jì)算出BD=，從而得到CD=，然后根據(jù)正切的定義計(jì)算tan∠CAD的值．

證明：（1）連接，如圖，

∵是的角平分線，

∴＝，

∵＝，

∴＝，

∴＝，

∴，

∵與相切于點(diǎn)，

∴，

∴，

∴＝；

（2）①在Rt△ABC中，AB=，

設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=OD=r，OB=5-r，

∵OD∥AC，

∴△BDO∽△BCA，

∴，即，

解得：，

即⊙O的半徑為：；

②∵△BDO∽△BCA，

∴，即，

解得：BD=，

∴CD=，

在Rt△ACD中，；

故答案為：，，，，，.