Question

如圖1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B、C在A、E的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）求證：BD=DE+CE；
（2）如圖2，過點(diǎn)A作AF⊥AE于A，且AF=DE，連接FB、FD、FE、FC．探究∠BFD與∠CFE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠ABD=∠CAD，即可證明△ABD≌△CAD，可得BD=AE，AD=CE，即可解題．
（2）連接BE，CD，易證RT△BDE≌RT△EAF，可得EF=BE，∠AEF=∠DBE，即可求得△BEF為等腰直角三角形，再證RT△CDE≌RT△DFA可得CD=DF，∠CDE=∠AFD，即可求得△CDF為等腰直角三角形，即可解題．

解答：證明：（1）∵∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAD，
在△ABD和△CAD中，

∠ADB=∠AEC=90° ∠ABD=∠CAE AB=AC

，
∴△ABD≌△CAD（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
（2）連接BE，CD，

在RT△BDE和RT△EAF中，

BD=AE ∠EAF=∠BDE=90° DE=AF

，
∴RT△BDE≌RT△EAF，（SAS）
∴EF=BE，∠AEF=∠DBE，
∵∠BED+∠DBE=90°，
∴∠BED+∠AEF=∠BEF=90°，
∴∠BFE=45°，
在RT△CDE和RT△DFA中，

AD=CE ∠DAF=∠CED=90° AF=DE

，
∴RT△CDE≌RT△DFA（SAS），
∴CD=DF，∠CDE=∠AFD，
∵∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠CDE+∠ADF=180°-∠FDC=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠DFC=45°，
∵∠DFC=∠CFE+∠DFE，∠BFE=∠BFD+∠DFE，
∴∠CFE=∠BFD．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證RT△BDE≌RT△EAF和RT△CDE≌RT△DFA是解題的關(guān)鍵．