Question

如圖，直線y=kx+b（k≠0）交坐標(biāo)軸于A，C兩點，A、B關(guān)于y軸對稱，D在y軸上，且∠CBD=∠CDB，E、F分別是線段CB、AC延長線上一點，且DE=DF，試判斷OC、CE、CF三者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),軸對稱的性質(zhì)

專題：證明題,探究型

分析：作點E關(guān)于y軸的對稱點E′，連接DE′，過點D作DH⊥AC，垂足為H，如圖所示．可以證明AC=BC=DC，從而證到△AOC≌△DHC，則有HC=OC，根據(jù)等腰三角形的三線合一可以證明HF=

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E′F．由HF=CH+CF=OC+CF，E′F=E′C+CF=EC+CF，HF=

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E′F就可得到OC、CE、CF三者之間的數(shù)量關(guān)系．

解答：答：OC、CE、CF之間的數(shù)量關(guān)系為：CE=2CO+CF．
證明：作點E關(guān)于y軸的對稱點E′，連接DE′，過點D作DH⊥AC，垂足為H，如圖所示．
則點E′必落在線段CA的延長線上，且有DE′=DE，CE′=CE．
∵DE=DF，∴DE′=DF．
∵DH⊥AC，∴E′H=FH=

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E′F．
∴HF=

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（CE′+CF）=

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（CE+CF）．
∵A、B關(guān)于y軸對稱，∴CA=CB．
∵∠CBD=∠CDB，∴CD=CB．
∴CA=CD．
在△AOC和△DHC中，

∠ACO=∠DCH ∠AOC=∠DHC CA=CD

∴△AOC≌△DHC（AAS）．
∴CO=CH．
∴HF=CH+CF=CO+CF．
∴CO+CF=

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（CE+CF）．
整理得：CE=2CO+CF．

點評：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)等知識，利用軸對稱的性質(zhì)將CE和CF轉(zhuǎn)化到同一條線上是解決本題的關(guān)鍵．