【題目】如圖,,點是線段的一個三等分點,以點為圓心,為半徑的圓交于點,交于點,連接
(1)求證:是的切線;
(2)點為上的一動點,連接.
①當 時,四邊形是菱形;
②當 時,四邊形是矩形.
【答案】(1)見解析;(2)①60°,②120°.
【解析】
(1)連接,由,得到為等邊三角形,得到,即可得到,則結論成立;
(2)①連接BD,由圓周角定理,得到∠ABD=30°,則∠DBE=60°,又有∠BEP=120°,根據同旁內角互補得到PE//DB,然后證明,即可得到答案;
②由圓周角定理,得∠ABD=60°,得到∠EBD=90°,然后由直徑所對的圓周角為90°,得到,即可得到答案.
證明:連接,
,
.
,
為等邊三角形,
.
點是的三等分點,
,
,
,即,
是的切線.
(2)①當時,四邊形是菱形;
如圖,連接BD,
∵,
∴,
∴,
∵AB為直徑,則∠AEB=90°,
由(1)知,
∴,
∴,
∴PE//DB,
∵,,
∴,
∴四邊形是菱形;
故答案為:60°.
②當時,四邊形是矩形.
如圖,連接AE、AD、DB,
∵,
∴,
∴,
∵AB是直徑,
∴,
∴四邊形是矩形.
故答案為:.
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【題目】有四張正面分別標有數字1,2,3,4的不透明卡片,它們除數字外其余全部相同,現將它們背面朝上洗均勻.
(1)隨機抽取一張卡片,則抽到數字“2”的概率是___________;
(2)從四張卡片中隨機抽取2張卡片,請用列表或畫樹狀圖的方法求抽到“數字和為5”的概率.
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【題目】如圖1所示,E為矩形ABCD的邊AD上一點,動點P、Q同時從點B出發(fā),點P沿折線BE﹣ED﹣DC運動到點C時停止,點Q沿BC運動到點C時停止,它們運動的速度都是1cm/秒,設P、Q同時出發(fā)t秒時,△BPQ的面積為ycm2,已知y與t的函數關系圖象如圖2所示,請回答:
(1)線段BC的長為 cm.
(2)當運動時間t=2.5秒時,P、Q之間的距離是 cm.
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【題目】如圖,已知點、在直線上,且,于點,且,以為直徑在的左側作半圓,于,且.
(1)若半圓上有一點,則的最大值為________;
(2)向右沿直線平移得到;
①如圖,若截半圓的的長為,求的度數;
②當半圓與的邊相切時,求平移距離.
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【題目】已知正方形ABCD中,AB=6,點P是射線BC上的一動點,過點P作PE⊥PA交直線CD于E,連AE.
(1)如圖1,若BP=2,求DE的長;
(2)如圖2,若AP平分∠BAE,連PD,求tan∠DPE的值;
(3)直線PD,AE交于點F,若BC=4PC,則= .
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【題目】如圖1,AB、CD是圓O的兩條弦,交點為P.連接AD、BC. OM⊥ AD,ON⊥BC,垂足分別為M、N.連接PM、PN.
圖1 圖2
(1)求證:△ADP ∽△CBP;
(2)當AB⊥CD時,探究PMO與PNO的數量關系,并說明理由;
(3)當AB⊥CD時,如圖2,AD=8,BC=6, ∠MON=120°,求四邊形PMON的面積.
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【題目】某中學為數學實驗“先行示范!保粩祵W活動小組帶上高度為1.5m的測角儀BC,對建筑物AO進行測量高度的綜合實踐活動,如圖,在BC處測得直立于地面的AO頂點A的仰角為30°,然后前進40m至DE處,測得頂點A的仰角為75°.
(1)求∠CAE的度數;
(2)求AE的長(結果保留根號);
(3)求建筑物AO的高度(精確到個位,參考數據:,).
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線:沿軸翻折得到拋物線.
(1)求拋物線的頂點坐標;
(2)橫、縱坐標都是整數的點叫做整點.
① 當時,求拋物線和圍成的封閉區(qū)域內(包括邊界)整點的個數;
② 如果拋物線C1和C2圍成的封閉區(qū)域內(包括邊界)恰有個整點,求m取值范圍.
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【題目】在同一平面內,將兩個全等的等腰直角三角形和擺放在一起,為公共頂點,,若固定不動,繞點旋轉,、與邊的交點分別為、(點不與點重合,點不與點重合).
(1)求證:;
(2)在旋轉過程中,試判斷等式是否始終成立,若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
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