Question

如圖，點(diǎn)P是直線l：y＝-2x-2上的點(diǎn)，過點(diǎn)P的另一條直線m交拋物線y＝x²于A、B兩點(diǎn)．

(1)若直線m的解析式為y＝-x+，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，t)，當(dāng)PA＝AB時(shí)，請直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

②試證明：對于直線l上任意給定的一點(diǎn)P，在拋物線上都能找到點(diǎn)A，使得PA＝AB成立．

(3)設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)C，若△AOB的外心在邊AB上，且∠BPC＝∠OCP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依題意，得 　　解得， 　　∴A(，)，B(1，1)． 　　(2)①A1(－1，1)，A2(－3，9)． 　�、谶^點(diǎn)P、B分別作過點(diǎn)A且平行于軸的直線的垂線，垂足分別為G、H． 　　設(shè)P(，)，A(，)，∵PA＝PB，∴△PAG≌△BAH， 　　∴AG＝AH，PG＝BH，∴B(，)， 　　將點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線，得， 　　∵Δ＝ 　　∴無論為何值時(shí)，關(guān)于的方程總有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，即對于任意給定的點(diǎn)P，拋物線上總能找到兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)A． 　　(3)設(shè)直線：交y軸于D，設(shè)A(，)，B(，)． 　　過A、B兩點(diǎn)分別作AG、BH垂直軸于G、H． 　　∵△AOB的外心在AB上，∴∠AOB＝90°， 　　由△AGO∽△OHB，得，∴． 　　聯(lián)立得，依題意，得、是方程的兩根，∴，∴，即D(0，1)． 　　∵∠BPC＝∠OCP，∴DP＝DC＝3．P 　　設(shè)P(，)，過點(diǎn)P作PQ⊥軸于Q，在Rt△PDQ中，， 　　∴．∴(舍去)，，∴P(，)． 　　∵PN平分∠MNQ，∴PT＝NT，∴．